LÁTICES

Una látice o red es un conjunto parcialmente ordenado por una relación de orden, en el cual cada subconjunto {a, b} de este, que consta de dos elementos, tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior.
Se escribirá la mínima cota superior del conjunto {a,b} como m.c.s({a, b}) y se denotará por "a + b". Similarmente se escribirá la máxima cota inferior del conjunto {a, b} como M.C.I({a, b}) y se denotará por "a. b".

Ejemplo 1
Sea S un conjunto no vacío y sea L = P(S). Se sabe que la operación "Í " define una relación de orden parcial en P(S). Acá se cumple que A + B (m.c.m({A, B})) es la unión de A y B y A B (M.C.I({A, B})) es la intersección de A y B.
Se concluye entonces que P(S) con el orden parcial definido por la relación "Í " es una látice.

Ejemplo 2

Sea n un entero positivo y sea Dn el conjunto de todos los divisores positivos de n. Entonces el conjunto Dn ordenado por la relación de divisibilidad es una látice.
Así, si n = 20 entonces D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} y se cumple que para cualesquiera a, b Î D20: a + b = m.c.s({a, b}) es el mínimo común múltiplo de a y b.
a.b = M.C.I({a, b}) es el máximo común divisor de a y b.
El diagrama de Hasse de D20 ilustra claramente esta situación.

Ejemplo 3

El conjunto parcialmente ordenado representado por el siguiente diagrama de Hasse no es una látice.

No es una látice porque el conjunto {f, g} no posee mínima cota superior, es decir f + g no existe.

Ejemplo 4

El conjunto parcialmente ordenado representado por el siguiente diagrama de Hasse no es una látice.

No es una látice porque no existen c + b y d.e. Esto a pesar de que los conjuntos {b, c} y {d, e} poseen respectivamente cotas superiores y cotas inferiores, pero no son comparables.

Sublátice

Sea (L, £ ) una látice. A un subconjunto no vacío S, de L se le llama una sublátice de L si se cumplen las siguientes dos condiciones:
(a + b) Î S. " a, b Î S.
a.b Î S. " a, b Î S.
Ejemplo 5
Dado D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ordenado por la relación de divisibilidad, entonces los siguientes conjuntos son sublátices de D20. D10 = {1, 2, 5, 10} D4 = {1, 2, 4}


PROPIEDADES DE LA LATICES

1. a £ a + b; b £ a + b (por ser a + b una cota superior del conjunto {a, b}).

2. a £ c y b £ c si y sólo si a + b £ c (por ser a + b la mínima cota superior del conjunto {a, b}).

3. a.b £ a; a.b £ b (por ser a.b cota inferior de {a, b}).

4. c £ a y c £ b sí y sólo si c £ a. b (por ser a.b la máxima cota interior de a y b).

Teorema. Sea L una látice, entonces:

-Ley de Idempotencia. a + a = a a.a = a.
-Ley conmutativa. a + b = b + a a.b = b.a.
-Ley asociativa. a + (b + c) = (a + b) + c a(b.c) = (a.b)c.
-Ley de absorción. a + a.b = a a(a + b) = a.



LATICES DISTRIBUTIVOS Y COMPLEMENTARIOS

Estos lattices definen sistema algebraico que están más estructurados. Una lattice es un lattice distributivo si la operación de multiplicación se distribuye sobre la de adición y la de adición se distribuye sobre la de multiplicación, esto es, para todo a, b y c.

a ∧ (b ∨ c ) = (a ∧ b) ∨ ( a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c ) = (a ∨ b) ∧ ( a ∨ c)

Ahora si la lattice de multiplicación es distributiva sobre la operación adición en un lattice, entonces la operación de adición también es distributiva sobre la operación de multiplicación. Si la operación adición es distributiva sobre la operación de multiplicación, entonces la operación de multiplicación también es distributiva sobre la operación de adición.

Por dualidad obtenemos el resultado de que si la operación de adición v es distributiva sobre la operación de multiplicación ∧ entonces la operación de multiplicación ∧ también es distributiva sobre la operación de adición v.
Un lattice es complementado si todo elemento en el lattice posee un complemento, en la figura 1 se observa un lattice complementado, donde el complemento de a es c, el complemento de b también es c y de esto deducimos que los complementos de c son a y b. En un lattice distributivo, si un elemento posee un complemento entonces este complemento es único.