RESEÑA HISTÓRICA DE ALGUNOS PROBLEMAS EN TEORÍA DE NÚMEROS



El propósito de este trabajo, es describir, en forma sucinta, la historia de algunos problemas centrales de la Teoría de Números. Muchos de ellos han ocupado la atención de matemáticos, y aficionados a las matemáticas por varias generaciones, y en determinados casos hasta por siglos. Entre estos problemas se destacan: la Conjetura de Golbach, el Último Teorema de Fermat, el Teorema de los Números Primos, el Problema de Catalán y el Décimo Problema de Hilbert.

Gauss consideraba a las matemáticas como la reina de las ciencias y a la teoría de números como la reina de las matemáticas. Este calificativo dado por Gauss a la teoría de números, tiene plena justificación, si se tiene en cuenta que, la historia de las matemáticas la tiene como su columna vertebral y porque grandes matemáticos, desde la antigüedad hasta nuestros días, la han cultivado y mantenido como una de las áreas más fecundas del terreno matemático. Los problemas de la teoría de números tienen diferente grado de dificultad. Algunos son fáciles de plantear y fáciles también de resolver, como es el caso de establecer la infinidad de los números primos. Fue Euclides, quien, en forma por demás elegante, mostró que el conjunto de números primos es infinito.

Los números enteros, materia prima de la teoría de números, tienen en conjunto, propiedades sumamente interesantes como veremos en el transcurso de la presente exposición. Empecemos por decir que cada entero en sí es interesante, pues si hubiese un conjunto de enteros positivos no interesantes, el menor de ellos ya sería de interés, contradiciendo su propia definición.

Godfrey Harold Hardy (1877-1947), el famoso matemático inglés, cuenta que en cierta ocasión comentó a Ramanujan, haber viajado en el taxi No. 1729, número éste, que en su opinión no tenía nada de interesante. El genio hindú le respondió: “Al contrario, 1729 es un numero muy especial, ya que es el primer entero positivo que puede expresarse como la suma de dos cubos, exactamente en dos formas diferentes”. En efecto, 1729 = 103+93 = 123+13. El número 123 = 1728, estudiado por Ramanujan, desempeña un papel importante en la teoría de formas modulares elípticas, área en la cual contribuyó profusamente.

S. Ramanujan (1887-1920) y G. H. Hardy (1877-1947)

Los enteros positivos tuvieron singular importancia en la filosofía de la escuela pitagórica (siglos VI-III A.C.). Para Pitágoras todo era números y el número era la única vía de llegar a la esencia de las cosas. Los enteros positivos fueron clasificados como femeninos (pares) y masculinos (impares). A los primeros números se les asociaron atributos humanos. Por ejemplo, el 2 significaba opinión, el 4 justicia (por ser el primer cuadrado perfecto), el 5 matrimonio (suma de par e impar). El uno no era considerado estrictamente como un número, si no como el “divino generador de todos los números”. De otra parte, para los pitagóricos, el uno era el punto, la recta el dos, una superficie el número tres y el cuatro estaba ligado a los sólidos. De la suma de estos, aparecía el número diez, el tetractys, considerado por ellos como potencia sagrada y omnipotente. El diez estaba clasificado entre los números triangulares.

LAS TRIPLAS PITAGÓRICAS Y EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT.

Hay suficiente evidencia como para creer que los babilonios del II milenio antes de Cristo, conocían un procedimiento para obtener soluciones enteras de la ecuación :

x^2 +y^2 =z^2 (*)


En efecto, en los años 40, fueron interpretadas por O. Neugebauer y A. J. Sachs, varias tablillas babilónicas de contenido matemático entre ellas, la Nº 322 de la colección Plimpton, en la cual aparecen muchas triplas pitagóricas (a, b, c) que satisfacen (*). La tripla (3, 4, 5) es una de ellas. Esta tripla pudo haberse encontrado por ensayo y error, pero no podría decirse lo mismo de la tripla,

(4961, 6480, 8161)

Que también aparece en la tablilla 322. Esto muestra que la cultura babilónica poseía probablemente la fórmula parra encontrar valores que satisficieran la ecuación diofantina. En el libro XII de los “Elementos” de Euclides se describe el método para hallar todas las triplas pitagóricas primitivas que resuelven la ecuación mencionada. En notación moderna la solución puede expresarse así:

(**) x = 2uv, y =u^2-v^2, z = u^2+v^2

Donde u y v son enteros positivos de diferente paridad (uno par, el otro impar), u > v y u, v primos entre sí. Que (x, y, z), dados en (**) satisfacen (*), se obtiene directamente de la identidad algebraica:

(u^2 + v^2) = (u^2- v )^2 + (2uv) , donde x = (2uv)^2, y = (u^2- v )^2, z ^2= (u^2 + v^2 ) 2.

La proposición más nombrada y quizás con el mayor número de demostraciones erróneas en la historia de las matemáticas, es el llamado Último Teorema de Fermat. PIERRE DE FERMAT (1601-1665), aunque jurista, logró su fama como matemático de gran creatividad. Al margen de su copia del libro “Aritmética”, escrito por Diofanto y editado por Bachet en 1650 (véase facsímil de la portada al comienzo del artículo), Fermat escribió:

“Descomponer un cubo en dos cubos, una cuarta potencia o en general una potencia en dos potencias de la misma denominación, por encima de dos, es imposible. Yo he encontrado una maravillosa prueba de este hecho, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla”.

Gauss y el Teorema de los Números Primos

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, descubrió en 1792 que los números primos no están caprichosamente distribuidos en el conjunto de los números enteros, sino que al contrario, siguen invariablemente una ley en cuanto a su densidad. Esta ley se conoce como el Teorema de los Números Primos.

Teorema de los Números Primos. Si π (x) representa el número de primos en el intervalo [1, x], entonces π (x) es asintóticamente igual a x/logx. (logx significa aquí, logaritmo natural de x). Más exactamente

Gauss llegó a esta conclusión al comparar la integral,



Con el número de primos que puede haber en el intervalo [a, b]. El observó por ejemplo, que el número de primos en el intervalo entre 2600000 y 2700000 es de 6762, número éste, muy próximo a la integral de arriba; cuyo valor para a=2600000 y b=2700000 es de 6761.332. Hay sobrada razón entonces, para asignarle a Gauss la prioridad del descubrimiento de este teorema. No obstante, debe reconocerse que, quien primero enunció la conjetura que condujo al teorema, fue Adrien Marie Legendre (1752-1833), en la forma:


Donde A y B son constantes.

Gauss fue un perfeccionista en todo; solamente cuando obtenía un resultado muy pulido, permitía su publicación. Su dogma siempre fue: “PAUCA SED MATURA” (poco, pero maduro). Esto explica, por qué muchos resultados atribuidos a él, no fueron publicados en vida del autor. Algunos de éstos se encontraron en su diario, otros más, se obtuvieron de la correspondencia que mantuvo con científicos contemporáneos.

El Problema de Catalan y la Conjetura de Goldbach

El problema de Catalan es otro ejemplo de un problema de fácil formulación pe­ro de muy difícil prueba. Este tiene que ver con potencias de en­teros, digamos, los cuadrados: 1, 4, 9,…, cubos: 1, 8, 27,… cuartas potencias: 1, 16, 81…, etc. Hace más de cien años, el matemático belga Eugène Catalan (1814-1894), conjeturó que las únicas dos potencias de enteros, que difieren en 1, son 23 y 32, esto es 8 y 9. El problema se puede expresar en términos de ecuaciones diofantinas en los siguientes términos. No existe soluciones enteras, diferentes de x =3, y =2, u =2, y v =3 para la ecuación diofantina:

, con x > 0; y>0; u>1; v>1.

Solamente hasta hace muy poco el matemático inglés Alan Baker (Medalla Fields 1970), lo­gró probar la conjetura, salvo para un número finito de casos. Sin embargo el número de casos excepcionales, aunque finito es demasiado grande para verificarlo con ayuda del computador. Recientemente el matemático suizo Preda Mihailescu[1] logró resolver en forma a­firmativa este centenario y difícil problema.

John E. Littlewood (1885-1977)

En 1742, Christian Golbach (1690-1764), en carta dirigida a Euler, propuso el siguiente problema:


Conjetura de Golbach: Todo número par mayor o igual que 4 se puede expresar como la suma de dos primos y todo número impar mayor que 8 es representable co­mo la suma de a lo más tres primos impares.
Todos los esfuerzos por demostrar la conjetura, resultaron fallidos hasta 1937, cuando el matemático soviético I. M. Vinogradov, demostró que todo impar mayor que cierta constante No (Constante de Vinogradov) se puede expresar como suma de a lo más tres números primos y consecuentemente todo par debe poderse expresar como suma de a lo más 4 primos. Una cota superior encontrada para No, es 10350000. Este número aunque grande, es comparativamente pequeño en rela­ción con otro número que aparece en conexión con π(x) y conocido como número de Skewes y corresponde a:


Este número según Hardy era el mayor número natural conocido, usado con un propósito especial. El número de Skewes representa una cota superior debajo de la cual existe al menos un natural, tal que Se había conjeturado que el número de primos en el intervalo [1 , x] siempre era menor o igual que Li(x). La conjetura tenía por soporte el hecho de que todos los valores calculados satisfacían la desigualdad. Sin embargo a comienzos del siglo, J. E. Littlewood (l855-1977), probó que hay infinitos naturales que violan la conjetura. Curiosamente, Littlewood no logró mostrar ninguno en particular. En la década de 1930 su discípulo S. Skewes encontró que existe al menos un número natural, menor que la cota anotada arriba para el cual la conjetura no se cumple. Esta cota se ha ido bajando, hasta obtenerse en 1.65 x 101165, debajo de la cual existe un natural tal que

π(x) >Li (x).

UN PROBLEMA DE HILBERT Y LA INFINITUD DE LOS PRIMOS GEMELOS.

David Hilbert (1862-1943) propuso en el Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París en 1900, 23 problemas, el décimo de los cuales pregunta por la existencia de un algoritmo para determinar si una ecuación diofantina tiene o no solución. El problema sólo vino a resolverse en 1970 con el trabajo brillante del matemático soviético Yuri Matyasevich, quien probó la no existencia de tal algoritmo. Un algoritmo es un proceso que en un número finito de pasos conduce a un resultado determinado. El trabajo de Matyasevich fue la culminación de todo un cuerpo de ideas desarrollado por Julia Robinson, Hilary Putnam y Martin Davis en relación con funciones recursivas y computabilidad. Los números de Fibonacci dieron la clave en el trabajo de Matyasevich para la solución del décimo problema de Hilbert.