Los Números Primos y el Internet

Al oír la palabra números lo que primero nos viene a la cabeza es la lista 1, 2, 3, 4, 5,...,etc.
Éstos son los que se conocen como números naturales. El estudio de los números naturales conforma lo que se llama Teoría de Números, una de las ramas más interesantes y complejas de las Matemáticas. Carl Fiedrich Gauss, considerado por muchos el matemático más importante de la historia, se refería a ella como la Reina de las Matemáticas.

Entre los números naturales hay algunos que se pueden escribir como el producto de dos números más pequeños. Por ejemplo, el número 10 se puede escribir como el producto de 2 y de 5. Éstos son los números compuestos. Aquellos números que no son compuestos se denominan números primos. Es decir, los números primos son los números naturales formados por una sola pieza. Por ejemplo, el número 7 es primo ya que no podemos encontrar dos números naturales más pequeños que él de modo que multiplicándolos se obtenga 7. A esto hay que añadir una excepción, la del número 1. Al ser el primer número natural no hay ninguno más pequeño que él y por consiguiente no es compuesto. Considerando lo dicho anteriormente, deberíamos decir que el número 1 es primo. Sin embargo, el número 1 presenta un comportamiento muy diferente al resto de los números primos debido a su condición de elemento neutro de la multiplicación (multiplicar por 1 es como no hacer nada). Esto hace que no consideremos el número 1 ni como primo ni como compuesto.
La lista de los números primos empieza por tanto así: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, etc. Y aunque es posible escribir números primos muy grandes, la lista completa de todos los primos es aún un misterio.

Teorema Fundamental de la Aritmética

La propiedad más importante de los números primos es que constituyen las piezas básicas en las que se descompone cualquier número natural. Más exactamente, el Teorema Fundamental de la Aritmética dice que todo número natural mayor o igual que 2 puede ser expresado, de manera única, como producto de números primos.
Por ejemplo, el número 90 podemos escribirlo como 2 × 3 × 3 × 5. Es importante recalcar que el teorema no sólo nos dice que podemos escribir 90 como producto de números primos, sino que además nos dice que hay una única manera de hacerlo. Por supuesto, se consideran iguales todas las maneras que se obtienen cambiando el orden de los números primos; en el caso de 90, consideramos como iguales los productos 2 × 3 × 3 × 5 y 3 × 2 × 3 × 5. Obsérvese que si considerásemos el número 1 como número primo, la descomposición de un número natural como producto de números primos no sería única, ya que podríamos escribir, por ejemplo, 6 = 2 × 3, 6 = 2 × 3 × 1, 6 = 2 × 3 × 1 × 1, etc.
El Teorema Fundamental de la Aritmética aparece en el libro IX de Los Elementos de Euclides, texto del siglo IV antes de nuestra era considerado por muchos como el primer libro de Matemáticas modernas de la historia. Resulta interesante observar el lenguaje que usa Euclides en este contexto. En vez de decir que un número divide a otro, Euclides usa la expresión mide a, considerando conceptos geométricos: 3 mide a 15 porque podemos dividir un segmento de longitud 15 en 5 segmentos de longitud 3. Esta percepción geométrica es coherente con la mentalidad de la época que consideraba la palabra Matemáticas como un sinónimo de Geometría.
Con el Teorema Fundamental de la Aritmética en mente podemos pensar en los números primos como un análogo numérico de los átomos en Química, que son irreducibles y además generan, mediante distintas combinaciones, todas las moléculas. Esto hace que los números primos tengan estrechas relaciones con aspectos de las Matemáticas que aparentemente no están directamente relacionados con ellos.

Irracionalidad de √2

Consideramos ahora todos los números reales, es decir, los números con decimales. Si pensamos en los primos como números formados por una sola pieza, podríamos decir que lo más alejado de esta idea es la de número irracional. Veremos que, a pesar de las diferencias conceptuales iniciales, estas dos ideas están muy relacionadas. Pero antes, vamos a explicar con algo más de detalle qué entendemos por número irracional. Decimos que un número real positivo es racional si se puede escribir como la división de dos números naturales (racional viene del latín ratio, proporción). Por ejemplo, el número 3,75 es racional porque es igual a 15/4, y el número 0,1353535353535…(repitiéndose 35 indefinidamente) también es racional porque es igual a 134/990.

Los números que no se pueden escribir como un cociente de este tipo se llaman irracionales. La diferencia se encuentra en las cifras decimales: un número real es racional si tiene una cantidad finita de decimales o si, como en el ejemplo anterior, tiene una cantidad infinita de cifras decimales pero de manera que a partir de un punto la lista de decimales repite indefinidamente las mismas cifras. Los números irracionales, por el contrario, son aquellos con una lista de cifras decimales infinita de verdad, es decir, que no se estabiliza con la repetición de algunas cifras. Esto hace que la escritura normal (con las cifras del 0 al 9) de los números irracionales sea imposible. Esta es la razón por la que a veces usamos símbolos especiales para referirnos a algunos números. Esto pasa, por ejemplo, con π, el más famoso de todos los números irracionales. Otros símbolos usados para escribir indirectamente algunos
números son las raíces. Estamos acostumbrados a tratar con el número √2, y nos olvidamos de que no estamos escribiendo el número en sí, sino un símbolo que significa el número positivo cuyo cuadrado es 2.

Números primos y criptografía

El Teorema Fundamental de la Aritmética es un resultado de existencia. Nos dice que para cada número existe una manera de escribirlo como producto de números primos pero no nos dice cómo hacerlo. Si consideramos un número natural “pequeño”, digamos 3780, podemos descomponerlo fácilmente en producto de primos haciendo divisiones sencillas:
3780 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7.
Uno pensaría que esta operación, ejercicio habitual en la escuela primaria, se puede hacer con cualquier número. Esto no es así ni mucho menos. En general, encontrar los números primos que dividen a un número dado es un problema muy difícil, y no sólo desde un punto de vista teórico, sino también computacional. Es decir, que ni el ordenador más potente puede encontrar, en un tiempo razonable, los divisores primos de un número un poco “grande”. Tanto es así que muchos métodos de codificación de información usan este hecho.
Los primeros sistemas de transmisión de mensajes secretos se basaban en el intercambio de una clave entre el emisor y el receptor con un contacto directo previo. Esto, en comunicaciones a grandes distancias no era muy práctico ya que hacía necesario que emisor y receptor se juntasen cada vez que motivos de seguridad obligaban a cambiar la clave. En 1977, Rivest, Shamir y Adleman, científicos del MIT (Masachussests Institute of Technology) en EEUU, idearon un esquema de cifrado de clave publica. Según este método, llamado RSA por las iniciales de los apellidos de sus creadores, el receptor hace público un número natural “grande”, del cual conoce su descomposición en factores primos. Este número es usado por el emisor para cifrar sus mensajes. La idea es que aunque todo el mundo tiene acceso a la clave pública y al mensaje cifrado, éste sólo pueden ser descifrado si se conocen los números primos que dividen al número clave. Para que nos hagamos una idea de qué significa “grande”, actualmente se considera segura una clave pública dada por un número natural de más de 300 cifras. Por supuesto, a medida que evolucionan las capacidades de los ordenadores, la idea de lo que es un número “grande” va cambiando. Por ejemplo, los creadores del esquema RSA predijeron que un mensaje encriptado por ellos usando un número de 129 cifras como clave, tardaría en descifrarse 40 trillones de años. Sin embargo, a principios de los años noventa, mediante la colaboración de 1.600 ordenadores durante 8 meses, se consiguió descifrar. Esto, a pesar del error en las predicciones de sus creadores, más que restar validez al método RSA, muestra su fortaleza e ilustra la dificultad de un problema tan aparentemente sencillo como es la descomposición de un número como producto de primos.
Estas aplicaciones de los números primos en el campo de la criptografía muestran cómo las Matemáticas más abstractas pueden tener relación directa con actividades tan mundanas como el uso de un cajero automático.

GIMPS

En la última década del siglo de la ciencia un avance tecnológico revoluciona el mundo de las telecomunicaciones: Internet. Nacida a partir de una idea del ejército americano apenas 20 años antes, la red de redes pasa rápidamente al ámbito universitario y el fenómeno es entonces imparable. Pronto las instituciones de todo el mundo están conectadas y el número de hogares con acceso a Internet crece de manera exponencial. Con millones de ordenadores conectados entre sí, el siguiente paso natural en la búsqueda de primos-récords es la colaboración en Internet. George Woltman, programador y entusiasta de la teoría de números, empieza a finales de 1995 a recopilar toda la información existente relativa a los primos-récords. También crea un programa optimizado para la búsqueda de primos de Mersenne y lo cuelga en la red. Así empieza el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). La idea es que colaboradores de todo el mundo operen sobre una base de datos central. La automatización final del proceso de participación es realizada a finales de 1997 por Scott Kurowski. Desde entonces, basta con un ordenador personal y un modem para participar en la histórica búsqueda de los números primos. No hay más que conectar con la página WEB de GIMPS
(www.mersenne.org) y descargar el software necesario. Automáticamente, la base de datos central te asigna una serie de cálculos. Esta tarea la realiza el ordenador con los recursos que no están siendo utilizados en cada momento, no interfiriendo así en su actividad normal. Una vez obtenidos los resultados, el mismo ordenador contacta automáticamente con la base de datos central, actualizándola. Si el ordenador no está conectado continuamente a Internet, espera a estar conectado para hacer la trasferencia de datos. Esto hace posible el uso de los nuevos resultados por otros colaboradores. Así, desde 1996, los cinco números que han ostentado el récord del número primo más grande conocido han sido primos de Mersenne obtenidos por GIMPS.
Estos fueron descubiertos por voluntarios en Francia en 1996, Inglaterra en 1997, Estados Unidos en 1998 y 1999 y Canadá en 2001.
El primo-récord actual es el 213.466.917-1. Tiene 4.053.946 cifras y es el primo de Mersenne número 39 que se conoce. En total, todos los cálculos realizados para su detección equivalen al trabajo de un sólo ordenador personal durante más de 13.000 años. Para que nos hagamos una idea de su tamaño, si escribiésemos todas sus cifras decimales con un tamaño de fuente de 11 puntos, tendría una longitud de más de 14 kilómetros. A pesar de poner su nombre en la historia de los números primos, Michael Cameron no fue tan afortunado como Nayan Hajratwala, el descubridor en 1999 del primer primo-récord con más de un millón de cifras. Éste se llevó un premio de más de 44.000 euros dado por la Electronic Frontier Foundation. Esta misma institución ha ofrecido un premio de 90.000 euros para el descubridor del primer número primo con más de 10 millones de cifras.

Conjeturas famosas

La espectacularidad los datos anteriores contrasta con el desconocimiento de algunas cuestiones sobre los números primos aparentemente muy sencillas. Algunos resultados sobre los números primos se intuye que son verdad, pero por ahora son tan sólo conjeturas, enunciados plausibles sin demostración. Algunas de estas conjeturas llevan abiertas durante cientos de años.

Este es el caso de la Conjetura de Golbach. El 7 de Julio 1742, Christian Golbach, profesor de San Petesburgo que acabó en Moscú como tutor de la familia del zar Pedro II, escribe una carta a Euler donde le comenta que, a pesar de no haber encontrado una demostración, está seguro de que todo número natural mayor o igual que se puede escribir como suma de tres números primos. Euler le contesta que el resultado es equivalente a que todo número natural par mayor o igual que 3 es la suma de dos primos. Este último enunciado es el que pasa a la historia con el nombre de Conjetura de Golbach, uno de los problemas abiertos más famosos de las Matemáticas. No se duda de su veracidad, como además sugieren los cálculos hechos con algunos de los ordenadores más potentes, pero nadie ha sido capaz de dar una demostración general. El último avance en la comprobación directa del resultado mediante ordenador asegura que el resultado es cierto para todo número par hasta 400 billones.

Otra de las conjeturas más interesantes es la relativa a la cantidad de números primos gemelos. Dos números primos p y q se dice que son gemelos si p = q + 2. Como ningún número primo puede ser par, dos primos son gemelos si están todo lo cerca que dos primos pueden llegar a estar. Primos gemelos son, por ejemplo, las parejas (17, 19), (29, 31) y (1.000.000.000.061, 1.000.000.000.063). La Conjetura de los primos gemelos dice que hay infinitas parejas de primos gemelos aunque nadie ha sido capaz de determinar si es cierta o no. Esta conjetura puede sugerir que los primos se encuentran cerca unos de otros. Sin embargo, es fácil ver que hay listas de números naturales consecutivos no primos de cualquier longitud.


La historia de las Matemáticas está llena de resultados que en algún momento parecían retos inalcanzables. El enigma de la distribución de los números primos es posible que algún día se resuelva. Mientras tanto, seguirá despertando interés en matemáticos de todos los niveles, desde los investigadores en Teoría de Números en las universidades, hasta los niños que aprenden a dividir en las escuelas.