LÁTICES

Una látice o red es un conjunto parcialmente ordenado por una relación de orden, en el cual cada subconjunto {a, b} de este, que consta de dos elementos, tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior.
Se escribirá la mínima cota superior del conjunto {a,b} como m.c.s({a, b}) y se denotará por "a + b". Similarmente se escribirá la máxima cota inferior del conjunto {a, b} como M.C.I({a, b}) y se denotará por "a. b".

Ejemplo 1
Sea S un conjunto no vacío y sea L = P(S). Se sabe que la operación "Í " define una relación de orden parcial en P(S). Acá se cumple que A + B (m.c.m({A, B})) es la unión de A y B y A B (M.C.I({A, B})) es la intersección de A y B.
Se concluye entonces que P(S) con el orden parcial definido por la relación "Í " es una látice.

Ejemplo 2

Sea n un entero positivo y sea Dn el conjunto de todos los divisores positivos de n. Entonces el conjunto Dn ordenado por la relación de divisibilidad es una látice.
Así, si n = 20 entonces D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} y se cumple que para cualesquiera a, b Î D20: a + b = m.c.s({a, b}) es el mínimo común múltiplo de a y b.
a.b = M.C.I({a, b}) es el máximo común divisor de a y b.
El diagrama de Hasse de D20 ilustra claramente esta situación.

Ejemplo 3

El conjunto parcialmente ordenado representado por el siguiente diagrama de Hasse no es una látice.

No es una látice porque el conjunto {f, g} no posee mínima cota superior, es decir f + g no existe.

Ejemplo 4

El conjunto parcialmente ordenado representado por el siguiente diagrama de Hasse no es una látice.

No es una látice porque no existen c + b y d.e. Esto a pesar de que los conjuntos {b, c} y {d, e} poseen respectivamente cotas superiores y cotas inferiores, pero no son comparables.

Sublátice

Sea (L, £ ) una látice. A un subconjunto no vacío S, de L se le llama una sublátice de L si se cumplen las siguientes dos condiciones:
(a + b) Î S. " a, b Î S.
a.b Î S. " a, b Î S.
Ejemplo 5
Dado D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ordenado por la relación de divisibilidad, entonces los siguientes conjuntos son sublátices de D20. D10 = {1, 2, 5, 10} D4 = {1, 2, 4}


PROPIEDADES DE LA LATICES

1. a £ a + b; b £ a + b (por ser a + b una cota superior del conjunto {a, b}).

2. a £ c y b £ c si y sólo si a + b £ c (por ser a + b la mínima cota superior del conjunto {a, b}).

3. a.b £ a; a.b £ b (por ser a.b cota inferior de {a, b}).

4. c £ a y c £ b sí y sólo si c £ a. b (por ser a.b la máxima cota interior de a y b).

Teorema. Sea L una látice, entonces:

-Ley de Idempotencia. a + a = a a.a = a.
-Ley conmutativa. a + b = b + a a.b = b.a.
-Ley asociativa. a + (b + c) = (a + b) + c a(b.c) = (a.b)c.
-Ley de absorción. a + a.b = a a(a + b) = a.



LATICES DISTRIBUTIVOS Y COMPLEMENTARIOS

Estos lattices definen sistema algebraico que están más estructurados. Una lattice es un lattice distributivo si la operación de multiplicación se distribuye sobre la de adición y la de adición se distribuye sobre la de multiplicación, esto es, para todo a, b y c.

a ∧ (b ∨ c ) = (a ∧ b) ∨ ( a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c ) = (a ∨ b) ∧ ( a ∨ c)

Ahora si la lattice de multiplicación es distributiva sobre la operación adición en un lattice, entonces la operación de adición también es distributiva sobre la operación de multiplicación. Si la operación adición es distributiva sobre la operación de multiplicación, entonces la operación de multiplicación también es distributiva sobre la operación de adición.

Por dualidad obtenemos el resultado de que si la operación de adición v es distributiva sobre la operación de multiplicación ∧ entonces la operación de multiplicación ∧ también es distributiva sobre la operación de adición v.
Un lattice es complementado si todo elemento en el lattice posee un complemento, en la figura 1 se observa un lattice complementado, donde el complemento de a es c, el complemento de b también es c y de esto deducimos que los complementos de c son a y b. En un lattice distributivo, si un elemento posee un complemento entonces este complemento es único.

EL CODIGO SECRETO DE LA BIBLIA

EL FIN DE LOS DÍAS

El 11 de setiembre de 2001 presencié en directo los terribles atentados a las Torres Gemelas. Más tarde, leí los detalles en los reportajes del New York Times, Time y Newsweek. En el momento en que acaecieron, no atendí a la televisión porque estaba asistiendo en directo desde la azotea de mi casa.
El doctor Rips me envió por correo electrónico una tabla que yo también había encontrado minutos después de que cayesen las torres, pero las líneas telefónicas estaban bloqueadas y no pude hablar con él hasta el día siguiente. Lo que más le conmocionó, como matemático, fue que las tres palabras que cualquiera hubiese buscado automáticamente, «Gemelas», «Torres» y «avión», estaban codificadas juntas en el mismo lugar con una probabilidad de una entre diez mil.

John Podesta, jefe de Personal de la Casa Blanca, me dijo que el presidente Clinton tenía una copia de mi primer libro en Camp David, cuando reunió allí, en julio de 2000, a Arafat y Barak.
Mi encuentro con Arafat en Ramala tuvo lugar el 13 de abril de 2001. Mi encuentro con Simón Peres en el Ministerio de Defensa israelí, en Tel-Aviv, tuvo lugar el 22 de abril de 2001. Mi reunión con Omri Sharon fue el 17 de abril de 2001, en el hotel King David de Jerusalén. Me entrevisté con Podesta en la Casa Blanca el 16 de octubre de 2000.
Mi carta al presidente Bush llevaba fecha del 3 de agosto de 2001 y llamé a la Casa Blanca el 10 de setiembre de ese mismo año. Me dijeron que la había recibido el jefe de Personal, Andrew Card, y la consejera de Seguridad Nacional, Condoleezza Rice.
Por aquellas fechas, The New York Times publicó las palabras del presidente que decían que había estallado «la primera guerra del siglo xxi». La columna de Thomas Friedman en el Times del 13 de setiembre de 2001 empezaba con el titular «Tercera guerra mundial».
La búsqueda del código de la Biblia por parte de sir Isaac Newton se halla descrita en el ensayo «Newton, the Man» [«Newton, el hombre»], del famoso economista John Maynard Keynes (Essays and Sketches in Biography [Ensayos y esbozos en biografías], Meridian Books, 1956). Richard S. Westfall, en The Life of Isaac Newton [La vida de Isaac Newton] (Cambridge University Press, 1993, p. 125) afirma que el genial físico «creía que la esencia de la Biblia era la profecía de la historia humana».
Cuando Rips decía que Newton no pudo encontrar el código porque estaba «el libro sellado hasta el momento del fin», en realidad estaba citando las palabras del Libro de Daniel 12:4.
La idea de que la Biblia le fue dictada a Moisés por Dios de forma «continua, sin rupturas entre las palabras», la encontramos por primera vez en el sabio del siglo xiii Nachmanides, en su Commentary on the Torah [Comentario de la Tora] (Shilo, 1971, Charles Chavel, ed., vol. I, p. 14). La continuidad de la Tora también queda reflejada en su forma tradicional de pergamino, un rollo de texto sin interrupciones.
La Biblia original está formada por los cinco primeros libros. Del Génesis al Deuteronomio. Los judíos lo llaman la Tora. Pero en este libro yo me refiero a ello como la Biblia y, por lo tanto, al código que estudiamos lo llamo el código de la Biblia.
El experimento original de Rips fue publicado en Statistical Science agosto de 1994 (vol. 9, n.° 3), pp. 429-438, «Equisdistant Letter Sequer the Book of Génesis», y sus autores fueron Doron Witztum, Eliyahu Rips y Yoav Rosenberg. Sus resultados afirmaban que en el código de la Biblia aparecían los nombres de 32 rabinos famosos. Éstos vivieron y murieron después de que fuese escrita la Biblia y, sin embargo, se leen en ella hasta sus fechas de nacimiento y defunción. La probabilidad de hallar tal información por azar es de cuatro entre un millón. En una serie de experimentos posteriores, las probabilidades llegaron a ser de una entre diez millones.
El descodificador de la Agencia de Seguridad Nacional estadouni Harold Gans, me informó de los resultados de su experimento independiente en dos entrevistas telefónicas, en enero de 1993 y diciembre de 1996.
Gans me dijo que las probabilidades de encontrar los nombres de las ciudades donde vivieron los rabinos era de uno entre doscientos mil. Y allí estaban.
La primera noticia que tuve sobre el código de la Biblia me llegó en junio de 1992, después de encontrarme con el general Uri Saguy, a la sazón; la Inteligencia Militar israelí.
Conocí al doctor Rips en su casa de Jerusalén a finales de junio de La codificación sobre la guerra del Golfo que me enseñó aquella noche había sido encontrada por su colega Witztum. Rips me dijo que tanto Wiztum como él habían leído en el código la fecha exacta del ataque a Israel con misiles Scud tres semanas antes de que empezase la guerra del Golfo.
El 1 de setiembre de 1994 me entrevisté con Chaim Guri en su casa de Jerusalén. Aquella misma noche llamó a las oficinas de Rabin y a la mañana siguiente el chófer del primer ministro recogió mi carta y se la entregó a su jefe. En ella le explicaba que el código predecía su asesinato. La carta llevaba fecha del 1 de setiembre de 1994.
Rabin fue asesinado en un mitin político en Tel-Aviv, la noche del 4 de noviembre de 1995. Yigal Amir, un judío ortodoxo de veintiséis años de edad, le disparó tres tiros y dos le alcanzaron en la espalda.
Las cuatro menciones al «fin de los días» de la Tora aparecen en el Génesis 49:1, Números 24:14, Deuteronomio 4:30 y Deuteronomio 31:29. La expresión alternativa del «fin de los días» aparece en Daniel 12:13.
El presidente Clinton anunció la cumbre de Camp David el 5 de julio de 2000. Arafat y Barak se reunieron con él el 11 de julio de aquel año. Mi carta al entonces presidente de Estados Unidos estaba fechada el 5 de julio de 2000.
Las negociaciones de Camp David fracasaron el 25 de julio. El 29 de setiembre dio inicio la segunda intifada, después de que Ariel Sharon visitase, un día antes, la Explanada de las Mezquitas. Sharon fue elegido primer ministro de Israel el 6 de febrero de 2001.
Rips confirmó los resultados finales de su estudio sobre la aparición conjunta de las expresiones «fin de los días», «Arafat», «Barak», «Sharon» y «Bush», el 1 de mayo de 2001, tras dos semanas de investigación informática en la Universidad Hebrea. Las probabilidades eran de una entre quinientas mil.
La carta sellada que le entregué a mi abogado, Michael Kennedy, llevaba fecha del 6 de octubre de 1998.
«Shahid», la palabra árabe que designa a un «terrorista suicida», significa literalmente «mártir», pero es usada tanto por israelíes como árabes para describir a los hombres bomba que mueren cometiendo atentados.
El 17 de mayo de 2001, en una conversación telefónica, el doctor Rips me confirmó que las probabilidades de aparición de «guerra mundial», «holocausto atómico» y «fin de los días» junto con «en 5766» (2006) eran al menos de una entre cien mil. «Y esa probabilidad podría ser todavía menor -Rips—. Sólo he buscado en cien mil textos al azar y ninguno era mejor.


LA CLAVE DEL CÓDIGO

En Éxodo 24:10 se afirma que Moisés «vio al Dios de Israel. Y debajo de sus pies había lo que se parecía a una obra de losas de zafiro».
La leyenda que dice que Dios escribió las palabras originales de la Biblia en «piedra de zafiro» la encontramos citada en Kaplan, The Living Tora) Tora viva], p. 379, y atribuida a un antiguo comentario sobre la Biblia,. BeHaAlothekha, 101. Véase también Kaplan, p. 420.
El rabino Adin Steinsaltz, el más destacado traductor de textos hebreos antiguos, me dijo cuando nos encontramos en su estudio de Jerusalén que Isaías 41:23 se dice: «para ver el futuro debes mirar hacia atrás», lo que bien significa en hebreo «lee las letras al revés».
En mayo de 1998, poco después del Shavuot, la fiesta que celebra al entrega de la Tora al hombre, me encontré con Rips en Jerusalén y le mostré que su nombre (en hebreo, «zafiro» a la inversa) aparecía en el versículo de la Biblia que describe la venida de Dios al monte Sinaí.
La cita que Rips me leyó del Genio de Vilna procedía de la tradueck inglés de The Jewish Mind [La mente judía], de Abraham Rabinowitz (Hillel Press, 1978, pp. 33-34).
Finalmente, encontré las oscuras palabras en hebreo que designan los «obeliscos» en el diccionario hebreo en cuatro volúmenes The New Dictionary, de Abraham Even-Shoshan (Kiyat-Sefer Press, Jerusalén, Israel, 1985). El significado de la palabra «obelisco» también se halla comentado en el antiguo libro de recensión de la Biblia, el Midras.
El Midras, de 1700 años de antigüedad, que afirma que los «obeliscos» «no son obra del hombre, sino del Cielo» es el Mekhilta According to Rabbi Ishmael, An Analytical Translation [El Mekhilta según Rabbi Ishmael, Una traducción analítica] (traducción de Jacob Neuser, Scolars Press, Atlanta,GA,1988). El mismo texto sugiere que los obeliscos eran humanoides, «una especie de hombre y mujer». Véase también The Book of Words [El libro de las palabras], de Marcus Jastrow, quien llama a los «obeliscos» rocas cavernosas que parecen «figuras humanas» (Judaica Press, Nueva York, 1996, p. 460).

Rips me envió el 2 de enero de 2002 un correo electrónico confirmándome que la expresión «clave del código» se cruzaba dos veces con «boca de los obeliscos», con una probabilidad de una contra un millón. En una conversación telefónica que mantuvimos después, el 6 de enero, Rips me contó que «en la historia de la investigación del código ningún otro par de palabras habían estado asociadas con tal nivel de significación estadística».
Las expresiones «boca de los obeliscos» y «señor del código» aparecen en el texto directo de la Biblia como los nombres de dos lugares de Egipto, cerca del mar Rojo, donde el faraón y su ejército alcanzaron a los esclavos hebreos en su éxodo.
Pero ambos lugares, cuyos nombres no aparecen traducidos en la Biblia y cuyo significado en hebreo nunca ha sido tenido en cuenta, no podían ser el lugar donde se encuentra la «clave del código» o los «obeliscos».

Moisés no recibió la Biblia en el monte Sinaí hasta que los hebreos hubieron escapado de Egipto. Por lo tanto, la clave del código de la Biblia no podía haber sido enterrada en Egipto.
Y en el mismo código de la Biblia, la localización de la «clave del código», del «código del obelisco» estaba explicitada de manera muy clara: el «valle de Sidim».
En Génesis 14:3 se afirma que «el valle de Sidim se encuentra en el mar Muerto». Rashi, el comentarista de la Biblia más prestigioso, dice que ese valle fue un vergel en otra época, pero el mar Mediterráneo lo inundó hace muchos años, creando el mar Muerto (Pentateuch with Targum Onkelos, Haphtaroth y Rashi's Commentary [El Pentateuco con comentarios de Targum Onkelos, Haphtaroth y Rashi], trad. de M. Rosenbaum y A. M. Silbermann, Jerusalén, 1929, p. 55).
En noviembre de 1998 tuve un encuentro con el geólogo israelí David Neev en su casa de Jerusalén y en algunas otras ocasiones. Neev me dijo que el mar Muerto se encontraba, en estos momentos, en su nivel más bajo desde hacía cinco mil años. Neev, la principal autoridad en este campo, también me dijo que «Sidim» en hebreo significa «cal» y sugirió que la península de Lisan, cubierta de piedra caliza, podría ser lo que queda del valle.
La primera vez que visité Lisan fue en noviembre de 1998. Después volví en marzo y abril de 1999, primero con dos israelíes del Instituto Geofísico de Israel y, después, con dos geofísicos jordanos. El 16 de febrero de 2000 volví a Lisan con un discípulo de Neev, Yuyal Bartov, un joven geólogo israelí experto en Lisan, y Mikhail Rybakov, un geofísico también israelí. Nos acompañaban funcionarios del Ministerio de Turismo y Antigüedades de Jordania.
Dos días antes, el 14 de febrero de 2000, me reuní en Ammán con el ministro Akel Biltaji, quien me aseguró que me facilitaría los permisos necesaríos para la investigación arqueológica. El permiso escrito, fechado el 12 abril de 2000, fue de hecho, firmado por el director del Departamento de antigüedades, el doctor Fawwaz Al-Khraysheh.
Por lo tanto, no fue más que el código de la Biblia lo que me condujo al «valle de Sidim», después al mar Muerto y, finalmente, al lugar exacto de mi búsqueda: la península de Lisan, de 25 kilómetros cuadrados de extensión. El código describía claramente su punto más septentrional, donde la peninsula entra en el mar Muerto formando una pequeña bahía llamada Mazra. Allí debía estar la «clave del código».


CLINTON

El presidente Clinton confesó su «relación» con Monica Lewinsky el 17 agosto de 1998. El 21 de setiembre de 1998 envié al The New York Times una información sobre el código de la Biblia en la que se vaticinaba que Clinton saldría indemne del escándalo. El 12 de febrero de 1999, el Senado de los Estados Unidos desestimó las dos acusaciones del impeachment.
El mismo día que Clinton anunciaba la cumbre de Camp David, el 5 julio de 2000, le envié una carta al presidente. La misiva le llegó de manos del jefe de Personal, Podesta, el 7 de julio, junto con una copia de mi primer libro acerca del código de la Biblia. El 17 de julio, el asistente del jefe de Personal me llamó y me dijo: «El señor Podesta le ha entregado personalmente al presidente toda su información en Camp David.»
La cumbre de Camp David empezó el 11 de julio y acabó en un estrepitoso fracaso el 25 de julio. Clinton culpó públicamente a Arafat, diciendo que Barak «dio un paso más que Arafat, especialmente sobre la cuestión de Jerusalén», en declaraciones recogidas por The New York Times, del 26 de julio de 2000. Mi primera carta a Barak databa del 17 de mayo de 1998 y predecía que éste sería primer ministro. Esta vez, el intermediario fue el general Isaac Ben-Israel, responsable científico del Ministerio de Defensa. Al cabo de un año, el 17 de mayo de 1999, Barak fue elegido primer ministro.
Decidí entonces enviarle a Barak una nueva carta a través de Ben-Israel y su secretario de gabinete Isaac Herzog, para hacerle saber que el código también predecía que Barak sería líder de Israel en «un tiempo de sumo peligro», e incluso le especifiqué que tenía que ver con la Explanada de las Mezquitas. «La frase "golpearán la Explanada de las Mezquitas" estaba tan claramente codificada junto a "primer ministro E. Barak" como lo estuvo en su día el asesinato de "Itzhak Rabin"», decía mi carta a Barak.

Ben-Israel me había dicho, el 29 de mayo de 1998 en Nueva York, que Barak había investigado personalmente el código de la Biblia siendo ministro de la Presidencia, después de que Rabin fuese asesinado.
El 3 de octubre de 1999, Jeffrey Goldberg publicó un artículo en The New York Times Magazine acerca del peligro de un ataque a la Explanada de las Mezquitas durante el año del milenio, el año 2000. También citaba unas declaraciones del líder de Hamas, Sheik Yassin, en las que decía: «Eso sería el fin de Israel.»
Mi encuentro con Abu Ala, el presidente del Parlamento palestino, tuvo lugar el 13 de agosto de 2000, en su oficina de Ramala.

BILL CLINTON

El 20 de setiembre de 2000 le envié un fax al jefe de Personal de Clinton, John Podesta, que decía: «Si el problema es la religión, entonces la solución puede ser el código de la Biblia.» Podesta accedió a verme en la Casa Blanca el 16 de octubre de aquel año.
La nueva intifada empezó el 29 de setiembre de 2000, después de las oraciones del viernes, en la Explanada de las Mezquitas. Cuatro muchachos ( lanzaban piedras contra soldados israelíes fueron muertos a tiros en la mezquita, tal y como informaron The New York Times, la prensa israelí y la CNN. El día antes, el 28 de setiembre, el representante de la derecha israelí, Ariel Sharon, había enviado a mil policías y soldados antidisturbios a la Explanada de las Mezquitas, encendiendo la mecha del levantamiento palestino.
También me entrevisté, el 12 de octubre de 2000, con el cuñado de Barak, Doron Cohén, en su despacho de abogados de Tel-Aviv y le entregué una nueva carta para Barak. Pero mientras hablábamos, recibió noticias de que dos soldados israelíes habían sido linchados en la estación de policía de Ramala. Mi descripción del linchamiento se basa en las imágenes de los reportajes la CNN y de la BBC.
El 10 de octubre de 2000 me reuní con Nabil Sha'ath y le entregué una carta para Arafat. Dos días más tarde, el lugar en el que nos encontramos fue destruido por un misil lanzado desde un helicóptero israelí.
El 16 de octubre de 2000 me entrevisté en la Casa Blanca con el jefe Personal del gobierno de Clinton. Me dijo que ya había hablado con el presidente acerca del código de la Biblia y que lo haría de nuevo.
Podesta me explicó que él mismo estaba abierto a creer en el código añadió: «Clinton también es creyente.» Al finalizar me prometió que me conseguiría una entrevista con el presidente, pero los bien conocidos problemas de los últimos meses del mandato de Clinton lo impidieron.

EXISTE

En hebreo, el nombre de la península de «Lisan» también significa «lenguaje». Por lo tanto, la tabla que corre paralela a «código de la Biblia» afirma dos cosas diferentes: «existe en Lisan» y «existe en el lenguaje del hombre».
Hablé con el doctor Rips acerca de este nuevo hallazgo el 11 de julio de 2000. En realidad, este descubrimiento fue posible gracias a la investigación del diseñador del programa que usábamos para descodificar, el doctor Alex Rotenberg, quien encontró por primera vez la expresión codificada «código de la Biblia» con dos secuencias de salto muy cortas. La probabilidad de este suceso estadístico era de una entre cinco mil.
Como ya he dicho antes, el código habla de sí mismo usando la expresión «código de la Tora», pero en este libro, para facilitar la lectura, me refiero a ello como «código de la Biblia».
Vi a Rips en Israel el 5 de abril de 2001 y descubrimos juntos que «código de la Biblia» cruzaba a «diccionario» donde «Lisan/lenguaje» aparecía dos veces. Rips descubrió que los dos versículos de la Biblia que tratan más directamente de «lenguaje», en Génesis 10:5 y Génesis 11:6, aparecían en la misma tabla.
La piedra Rosetta fue encontrada en 1799 cerca de una ciudad del norte de Egipto, en la desembocadura del Nilo. La piedra tenía grabado un mismo texto en jeroglíficos egipcios y en griego, con lo que fue posible descifrar el lenguaje pictórico del antiguo Egipto.
Muchos estudiosos han sugerido que existía un protolenguaje de toda la humanidad.

Charles Darwin, en 1871, dijo que «el hombre tiene una tendencia instintiva a hablar» (Descent of Man [La ascendencia del hombre]. El lingüista Noam Chomsky fue el primero en sugerir, hace más de cuarenta años, que el lenguaje tiene una raíz genética. Rips, al decir que el hebreo es el lenguaje original del hombre, cita a uno de los mejores comentaristas de la Biblia, el rabino Rashi, quien a su vez hace referencia al Génesis 11:1 —«Toda la Tierra continuaba siendo de un solo lenguaje»— y afirma que el hebreo era «la Lengua Sagrada».
El rotativo The New York Times publicó una noticia el 4 de octubre de 2001 citando un artículo del doctor Anthony P. Monaco, publicado revista Nature, en la que decía que se había descubierto el «gen del lenguaje».

Nadie sabe cómo o cuándo empezó el lenguaje. Algunos científicos afirman tener evidencias de ello investigando cráneos de homínidos de millones de años de antigüedad, pero otros, como el arqueólogo de Standford R: Klein, sostienen que se produjo un cambio genético específico en el cerebro del hombre hace sólo cincuenta mil años, lo cual hizo posible el lenguaje Esto secunda la teoría de Chomsky de 1959 que afirma que existe un órgano dedicado al lenguaje en el circuito neuronal humano.
Un estudio posterior de Svante Paabo del Max Planck Institute, citado en el Times el 15 de agosto de 2002, afirma que el estudio del genoma de humanos y chimpancés revela que el lenguaje evolucionó sólo en los últimos cien mil años. El artículo de Paabo fue publicado en la revista Nature.
En el código de la Biblia, la expresión «el gen del lenguaje» se cruza con «gen de Dios» y un largo versículo de la Tora afirma: «Antes de arruinar el Señor a Sodoma y Gomorra, era como el propio jardín de Dios» (Génesis 13:10). En hebreo, las mismas letras que forman «gen del lenguaje» también forman «jardín de Lisan». Por otro lado, «gen de Dios» también significa «jardín de Dios».
El periódico jordano Al-Arab Al-Yawm publicó una noticia en primera página atacando mi expedición arqueológica del 9 de enero de 2001.
Casi todas las afirmaciones que hacía este periódico eran inciertas, el mensaje básico estaba claro: «¿Por qué se le habría de permitir a una fundación extranjera excavar en terreno jordano en busca de reliquias judías?»
Hablé con el embajador americano en Ammán, Williams J. Burns, el 24 de enero y éste me hizo llegar más tarde, el 28 de enero de 2001, una traducción de lo publicado por ese periódico.

ARAFAT

Mi carta a Arafat del 12 de abril de 2001 fue recogida en el hotel American Colony de Jerusalén esa misma medianoche.
El jefe de Personal de Arafat, Nabil Abu Rudaineh, me llamó a la 1.15 de la madrugada del 13 de abril de 2001 para pedirme que viese a Arafat aquella siguiente noche.
Me entrevisté con Arafat el 13 de abril, a las 21 horas, en sus oficinas de Ramala. Estaban presentes en el encuentro su negociador jefe, Saeb Erekat, quien nos hacía de intérprete, y Rudaineh.
El 23 de julio de 2000, el rotativo The New York Times informó que Arafat le había dicho a Clinton que temía ser asesinado si renunciaba a Jerusalén. Nabil Sha'ath, el ministro de Asuntos Exteriores de Arafat, me dijo en una conversación telefónica, el 6 de diciembre de 2000, que Arafat creía en una enseñanza básica del islam: «Nuestro destino está predeterminado y no tenemos ni un día más ni un día menos de lo designado por el Cielo.»
Me reuní con Rips en su residencia de Jerusalén la misma mañana en que vi a Arafat, el 13 de abril de 2001. Rips no intentó convencerme de que no acudiese a la cita, pero comparó a Arafat con Hitler y Saddam Hussein.
Cuando Arafat me informó que «Mahoma dijo que tendremos mil años, pero no dos mil», hacía referencia a una tradición musulmana que no estaba en el Corán, sino en el libro de comentarios del mismo, el Hadith. En el calendario musulmán, el año 2001 era 1422, cuatrocientos años dentro del milenio que, según Mahoma, daría fin a la especie humana. El Corán afirma que la humanidad no puede conocer cuándo llegará el final.
«Arafat» se halla en el texto oculto de la Biblia justo debajo de «en el fin de los días». Su nombre es transcrito exactamente igual a como lo citan los periódicos israelíes modernos.
En la misma tabla del código de la Biblia también aparecen los nombres de los líderes israelíes «Barak» y «Sharon» y del presidente de Estados Unidos, «Bush». Una vez más, el código de la Biblia usa la grafía moderna israelí. El día en que conocí a Arafat, el viernes 13 de abril de 2001, cristianos, judios y musulmanes se reunían en la Ciudad Antigua de Jerusalén: los cristianos para celebrar el Viernes Santo y recordar la crucifixión en la Vía Dolorosa; los judíos para orar frente al Muro de las Lamentaciones, los restos del antiguo templo, en el penúltimo día de la Pascua judía, y los musulmanes para rezar en su Sabbath, en la mezquita de la Explanada de las Mezquitas.

YASSER ARAFAT

La coincidencia de días sagrados no hacía más que acentuar el conflicto religioso, contienda que duraba ya miles de años. Y, como desde el primer día, el epicentro del problema era Jerusalén.

SHARON

El 17 de abril de 2001 me encontré con Omri Sharon, el hijo del primer ministro, en el hotel King David de Jerusalén.
La noche anterior había caído fuego de mortero delante de la finca del primer ministro. Los disparos provenían de Gaza. Tanques y helicópteros israelíes respondieron de inmediato invadiendo Gaza, tal y como informaron los periódicos israelíes Ha'aretz y The Jerusalem Post, además del International Herald Tribune.
La prensa israelí informó el 16 de abril que Omri Sharon había mantenido encuentros secretos con Arafat durante la semana anterior. Yo me había entrevistado con Arafat dos días antes, el 13 de abril.
Sharon fue elegido primer ministro de Israel el 6 de febrero de 2001, es decir, el 13 de Shevat de 5761 en el calendario hebreo. Meses antes, yo ya había hallado en el código de la Biblia la palabra «Sharon» junto con la fecha de su elección, en un momento en el que todo el mundo pensaba que el vencedor iba a ser el anterior primer ministro, Benjamin Netanyahu, el candidato del Likud.
Las citas anteriores a la elección de Sharon acerca de la imposibilidad de llegar a la paz han sido extraídas del artículo del New Yorker de Jeffrey Goldberg, «Arafat's Gift» [«El regalo de Arafat»], del 29 de enero de 2001, pp. 57 a 67.
La carta que le di a Omri para su padre, el primer ministro, databa del 17 de abril de 2001.
Hablé con el general Isaac Ben-Israel, jefe científico del Ministerio de Defensa, el 1 de abril de 2001, y me reuní con él, el 12 de abril, en la sede del ejército israelí en Tel-Aviv. Ben-Israel me puso en contacto con el general Meir Dagan, quien había sido jefe de contraespionaje de la administración de Netanyahu, aunque también era la persona con mayor acceso a Sharon después de Omri.
La reunión con el general Dagan tuvo lugar en el municipio donde éste residía, en Rosh Pina, en el norte de Israel, el 4 de abril de2001. El periódico The Jerusalem Post publicaba, el 23 de noviembre, unas declaraciones de Dagan ante unos manifestantes contrarios a la paz: «Ha llegado el momento de enviar a Yasir Arafat de vuelta a Túnez.»
Dagan me dijo que había leído mi primer libro sobre el código de la Biblia en su primera edición en hebreo de 1997 y que se tomaba las advertencias bíblicas muy en serio.

Le entregué una carta a Dagan para el primer ministro con fecha de 4 de abril de 2001. Dagan me prometió que se la haría llegar a Sharon. Pero cuando finalmente se encontraron, el 16 de abril, Israel estaba sumido en una crisis total y el primer ministro sólo quería hablar de la próxima invasión a Gaza. En ese momento ya había tenido lugar el ataque a las inmediaciones de su propiedad y el ataque a una estación de radar siria dentro de territorio libanes.
«Lo vi —me dijo Dagan a la mañana siguiente—, pero no le di su carta. Estoy seguro de que, en medio de esta crisis, Sharon no le iba a prestar ninguna atención, especialmente si no tiene información previa sobre el código.»
Volví a ver a Dagan el 4 de diciembre de 2001 en Jerusalén.

OMRI SHARON
Le habían nombrado jefe del equipo de negociaciones para el alto el fuego, conversaciones moderadas por el enviado estadounidense, general Anthony Zinni.
De nuevo Dagan me prometió que hablaría con Sharon acerca de mi causa, pero lo cierto es que Israel estaba, una vez más, en crisis después de los tres atentados que, días antes, se habían cobrado veinticinco bajas israelíes.
El 10 de setiembre de 2002, Sharon nombró a Dagan responsable del Mossad, tal y como informaba el Ha'aretz del 11 de setiembre de 2002.
El 22 de abril de 2001 me entrevisté con el ministro de Asuntos Exteriores israelí, Simón Peres, en su oficina de Tel-Aviv. La última vez que había visto a Peres, el 26 de enero de 1996, era primer ministro.
Peres era conocido en todo el mundo como el artífice de los acuerdos de Oslo, pero también había sido responsable de desarrollar el arsenal nuclear de Israel en la base secreta de Dimona. Sin duda, Peres era consciente del peligro del terrorismo nuclear. Tres días después de conocerle, en 1996, cuando era primer ministro, tras advertirle que la Biblia hablaba de un «holocausto atómico», Peres hizo un discurso en el que afirmaba que el peor peligro al que se enfrentaba el mundo era que las armas nucleares «cayeran en manos de países irresponsables, de locos fanáticos». El 13 de setiembre de 2002, tras un encuentro en la Casa Blanca, Peres predijo que Oriente Medio podía o «vivir en paz o ser destruido por el poder nuclear» en cinco o diez años.

EL CÓDIGO DE LA VIDA

El 27 de octubre de 1998 entrevisté telefónicamente a Francis Crick. Éste se encontraba en su despacho de San Diego, California. Crick había ganado el Premio Nobel en 1962, junto a James Watson, por su descubrimiento de la estructura del ADN.
El mismo doctor Crick publicó en Icarias, una revista científica editada por el astrónomo Carl Sagan, en julio de 1973 , una curiosa teoría. «Los organismos de la Tierra fueron liberados en la Tierra por seres inteligentes de otro planeta.» A esta teoría la llamaba «panspermia dirigida».
Crick, tanto en nuestra entrevista como en el artículo original, rechaza otras teorías que afirman que el ADN llegó en un meteorito y, en vez de ello, afirma que «una primitiva forma de vida fue depositada en la Tierra por una sociedad tecnológicamente avanzada procedente de otro planeta», usando «una nave espacial».
El 27 de noviembre de 1998 me encontré con Rips en su casa de Jerusalén, exactamente un mes después de que Crick me confirmase lo que la Biblia afirmaba: «El ADN fue traído en un vehículo.»
Rips estaba de acuerdo en que era posible que tanto el código de la Biblia como el código de la vida tuviesen la misma estructura de hélice, dos espirales superpuestas, y me enseñó una tabla codificada que él mismo había hallado tiempo atrás, donde «juicio de Dios» se hallaba superpuesto con «piedad de Dios».


De hecho, no es posible mostrar la estructura del código de la Biblia en una página impresa de dos dimensiones o, lo que es lo mismo, en una pantalla de ordenador, porque, en realidad, el código es un cilindro de tres dimensiones. Como lo explicaba Rips, es como contemplar un mapa del mundo en vez de un globo terráqueo.
El lector podrá encontrar en el libro Life Itself [La vida misma] el desarrollo completo de la teoría de Crick panspermia dirigida.
En ese libro, Crick afirma: «El código genético es un pequeño diccionario que traduce el lenguaje de cuatro letras de los ácidos nucleicos al lenguaje de veinte letras de las proteínas» (p. 171).
El libro Genoma, de Matt Ridley, nos ofrece una explicación más actualizada de tal teoría (Harper Collins). Este autor califica código genético de «lenguaje».

Es interesante que muchos mitos antiguos de la creación, desde los meros escritos súmenos, afirmen que toda la creación es producto de unas palabras. Que las cosas fueron creadas porque alguien las nombró.
Como dice el doctor Rips, el judaismo lo deja todavía más claro: «La Torá existe antes que el mundo: primero, Dios creó la Tora y, después, el universo.» De nuevo encontramos que son las letras —el lenguaje— el plano en el que se construyó la creación.

LA INVASIÓN

El 29 de marzo de 2002, la invasión de Ramala y la destrucción del cuartel general de Arafat por tanques israelíes ocuparon la primera página del The NewYork Times, The International Herald Tribune y del periódico israelí Ha'aretz. La CNN y la BBC también cubrieron los acontecimientos. En estas fuentes se basa mi descripción de los hechos.
La invasión, la ocupación de la mayor parte de las ciudades importantes de Cisjordania, fue consecuencia de unos atentados suicidas que culminaron el 27 de marzo con el ataque al hotel Passover Seder, en la ciudad costera de Netanya. Los muertos ascendieron a diecinueve, y los heridos a más de cien.
El nombre de la operación militar israelí, «Muro Defensivo», está codificado en la Biblia exactamente como la escribió la prensa de ese país. Asimismo, hallamos los nombres de las dos ciudades donde se dieron los combates más encarnizados, «Jenin» y la «casbah» de Nablus.
En ese momento no podía recurrir a Omri Sharon puesto que había sido llamado a filas junto con otros miles de israelíes. Pero sí pude entrevistarme con el general Dagan en Tel-Aviv, el 1 de abril de 2002, para mostrarle la exactitud con que el código había predicho la guerra actual. Dagan me dijo que ya le había entregado la carta al primer ministro Sharon y yo le di una nueva misiva con fecha del 1 de abril.
A petición de Dagan, el jefe de Personal de Sharon, Uri Shani, accedió a entrevistarse conmigo una vez finalizada la serie de encuentros que iba a tener con el secretario de Estado norteamericano, Colin Powell. El motivo de aquellas conversaciones no era otro que intentar acordar un nuevo cese de las hostilidades.
El 6 de abril de 2002 tuve un encuentro en Jericó con Saeb Erekat, el jefe del equipo negociador palestino. El lugar de encuentro escogido fue Jericó porque era la única ciudad que Israel no había ocupado. Le entregué una nueva carta a Arafat con fecha del 6 de abril.
La columna citada del The New York Times escrita por Thomas Friedman —en la que decía que las «armas de destrucción masiva podrían borrar a Israel de la faz de la Tierra».
Mi encuentro con Dalia Rabin, la hija del malogrado primer ministro, tuvo lugar en el knesset, el 3 de diciembre de 2001, durante mi anterior viaje a Israel. Ese mismo día, como preludio de la invasión de marzo, Sharon lanzó el asalto israelí más importante sobre Gaza y Cisjordania desde que Rabin y Arafat firmasen los acuerdos de Oslo de 1993.
Dalia Rabin dejó su puesto como ayudante del ministro de Defensa en julio de 2002, denunciando que Sharon había renunciado a conseguir la paz. El 15 de abril de 2002 me encontré con el general Yossi Kuperwasser en el Kirya, el cuartel general del ejército, en Tel-Aviv. Le dije a Kuperwasser, jefe del departamento de Inteligencia, que, gracias al código, conocía la localización de una base terrorista relacionada con Bin Laden. Aunque el código de la Biblia hacía una mención muy clara a ese lugar, no lo incluyo en este libro por razones de seguridad.
El 4 de setiembre de 2002, el primer ministro Sharon declaró en la televisión israelí que «Libia está convirtiéndose en una nación más peligrosa de lo que imaginábamos. Libia puede convertirse en el primer país árabe en hacerse con armas de destrucción masiva».
No sé si esa afirmación gubernamental fue producto de la advertencia que le transmití al general Kuperwasser, pero como mínimo fue una confirmación de una advertencia presente en el código.
El 9 de abril de 2002 me entrevisté con Dan Meridor, el ministro de la Presidencia israelí encargado de las amenazas químicas, biológicas y nucleares en su oficina de Jerusalén.
La cita de Meridor sobre los sucesos del 11 de setiembre de 2001, «Desafortunadamente, este ataque es sólo el comienzo», fue publicada en Ha'aretz del 11 de enero de 2002.
La CIA estima que Iraq podrá disponer de una arma nuclear hacia 2007, según una información del The New York Times del 11 de enero de 2002.
Uri Shani renunció a su puesto como jefe de Personal de Sharon el 18 de abril de 2002, con lo que se me cerraba una de mis mejores puertas de acceso al primer ministro.
La afirmación del entonces primer ministro Levi Eshkol a un joven general Sharon después de la guerra de 1967 —«los árabes seguirán allí»— está tomada del libro Six Days ofWar de Michael Oren (Oxford University Press Nueva York, 2002).
Según la versión oficial, sólo Jerusalén Este y los Altos del Golán, en el norte, fueron «anexionados» por Israel a consecuencia de la guerra de 1967, pero lo cierto es que también fueron ocupadas Gaza y Cisjordania. En marzo de 2002, por primera vez desde los acuerdos de paz de 1993, Israel reocupó Cisjordania y en junio de 2002 reinvadió los territorios.
Según un reportaje del New York times del 17 de setiembre de 2002, después de dos años de intifada, el número de muertos a causa del conflicto ascendía a 1790 palestinos y 609 israelíes.
Hice un último esfuerzo por contactar con el primer ministro Sharon a través de su hijo Omri ya que este libro iba a entrar en imprenta en setiembre de 2002 y le envié el siguiente correo electrónico:
«Omri: en una ocasión me preguntó: ¿qué se puede hacer? Mi respuesta, intentar que Israel sobreviva. »

Algo interesante para leer

LA MATEMÁTICA EN EL SIGLO XX
Juan Manuel PÉREZ DELGADO

EL SIGLO XX

Desde comienzo de nuestro siglo, la Ciencia se manifiesta cada vez más claramente como el elemento determinante del porvenir de la Humanidad, y es particularmente espectacular desde la segunda Guerra Mundial. La vida moderna está impregnada de Matemáticas por todos sus poros, siendo el número de “obreros“ ocupados en descubrir las matemáticas enorme en comparación con el resto de las anteriores épocas. Pasó el tiempo en los que se afirmaba: “En la ciencia, hay gigantes y pigmeos, pero éstos se suben a los hombros de aquellos y ven más lejos“. Hoy en día, no sólo es imposible conocer a fondo toda la Ciencia, ni una rama de ella, hoy existen los llamados “especialistas“, los cuales sólo pueden pretender alcanzar, mediante una visión
general de la ciencia que cultivan un conocimiento profundo de alguna de sus partes.

La Teoría de Números

La Teoría de Números estudia los enteros, sus sistemas de numeración, los números primos, los racionales, los irracionales algebraicos o los transcendentes, los lazos que los unen, ..., los diferentes cuerpos e ideales, sus estructuras. Esta teoría se apoya fuertemente en la teoría de funciones, y en ella encontró la geometría un nuevo instrumento de trabajo. Destacan los autores: H. Minkowski, Axel Thue, Siegel, y F. K. Roth. Con respecto a los números primos, el teorema propuesto por Legendre, en el sentido de que p(x) es el número de primos que no superan a x, es asintóticamente equivalente a x/ln(x), fue demostrado, por Hadamard y por De la Vallée–Poussin, de forma independiente, aunque después se dio por Landau, una demostración más corta.
Muchas cuestiones sobre los números primos siguen sin ser demostradas, están ... abiertas. Otros matemáticos que podemos reseñar son: B. Rosser, Hardy, Wright, Sierpinski, Brauer, Ricci, Linnik, Tchudakov, Shapiro, Van der Corput, Varga, y sobre todo Vinogradov. Por otro lado están los matemáticos ya consagrados como David Hilbert y Elie Cartan. Medidas de los conjuntos, definiciones de integral.
La medida de los conjuntos de puntos en los espacios de una, dos, tres, etc. ... dimensiones ha pasado por tres fases sucesivas. En primer lugar, la medida dada por Jordan, la cual es independiente de la forma y estructura del conjunto que se tiene que medir. Pero resultó que algunos conjuntos tan simples como los racionales del intervalo (0, 1), como el conjunto de los
irracionales de dicho intervalo, serian “medibles“ con dicha definición, y para salvar dicho inconveniente, Ëmile Borel, introdujo otra definición de medida, la medida que se suele denominar, B. Al mismo tiempo, otro gran genio, inventó otra medida, Henri Lebesgue, la medida L, que resultó tener las mismas propiedades que las anteriores, pero resultaba independiente además de la forma de construcción del conjunto a medir y es invariante por traslación.
Pero, dada una definición de medida, tenemos al unísono, una definición de Integral, así se habla en estos temas de la integral de Jordan, de la integral de Riemann, de Borel, y sobre todo de la Integral de Lebesgue. Que aunque desde un punto de vista práctico todas sean equivalentes, desde el punto de vista teórico, la de Lebesgue presenta gran interés.

El álgebra y la topología de principios de siglo

El Algebra “Moderna, no tiene apenas más que el nombre en común con lo que durante siglos ha constituido el álgebra por excelencia, la teoría de las ecuaciones. La nueva Algebra, se basa en la teoría de grupos, la idea más universal sin duda de las Matemáticas actuales, en los conceptos de cuerpo y anillo así como los conceptos de espacios vectoriales y más general de módulos sobre un anillo.
La topología, de cuyos resultados sólo quedará un 5% de lo que era, se basa en las nuevas nociones de “cohomología“, “homotopía“, y “homología“, con autores como: Pontrianguine, Lefschetz, Alexander Hopf, Eckmann, Eilenberg, Cartan, Rham, Whitney, Hurewicz, Brouwer, Milnor, Lie... y la serie de nombres se puede ampliar tanto como se quiera, que han conseguido una revolución algebraica–topológica en todas las ramas de las Matemáticas. Mas, aún quedan problemas abiertos de solución difícil en el Algebra actual, entre los que destaca LA DETERMINACION DE TODOS LOS GRUPOS SIMPLES FINITOS.

LAS MATEMATICAS DE HOY EN DIA

Un matemático actual está en su “espacio de trabajo“. Con lo dicho quiero decir que las matemáticas actuales se han convertido en un campo de cultivo excesivamente minifundista. La época de los Euler, Gauss, Poincaré, ... ha desaparecido en combate. Cada cual sólo puede pretender alcanzar, mediante una visión general de la ciencia que cultiva, un conocimiento profundo de una de sus partes. Cada una de las partes, son cada vez más y más para el especialista de esa parte. En la actualidad es imposible estar al día incluso de los resultados más notables, y eso hace imposible emitir un juicio de valor de los logros matemáticos. Los campos de trabajo que actualmente se han creado y gozan pues del cariño de lo nuevo son los que vamos a exponer, mas eso no significa que no se sigan las investigaciones en los campos tradicionales.

La teoría de las catástrofes

Creada en los sesenta por René Thom, no apareció hasta el año 1972. La idea era crear un modelo válido para cualquier proceso evolutivo.
En la ciencia se cree en la llamada estabilidad estructural, es decir, en la creencia de que en el universo existe un tipo de orden que conlleva el hecho de que si un experimento se puede repetir y si la repetición se logra en más o menos las mismas condiciones, obtendremos aproximadamente los mismos resultados. Esto traducido a las matemáticas significa: dada una familia de curvas dependientes de parámetros, pequeñas variaciones en los parámetros,
que se suponen continuos, nos proporcionan curvas que siguen siendo de la familia.
Los parámetros juegan, en la teoría de las catástrofes, un papel fundamental. Si el número de parámetros no pasa de cuatro, sólo aparecen siete tipos de catástrofes, es decir, discontinuidades cualitativamente distintas en el seno de la estabilidad estructural. Así, un sistema complejo se puede reducir a unos pocos parámetros de control y, por tanto, los complejos sistemas diferenciales se pueden evitar.
Entre los frutos de la teoría (ver Arnold (1983)), que están en ciencias como la biología, física, ciencias sociales..., por ejemplo, se encuentra el estudio de la estabilidades de las estructuras elásticas, por Thompson_Hunt (1973). El estudio de un perro bajo tensión, y el comportamiento humano en ciertas situaciones, sugiere aplicar esta teoría en los procesos de los trastornos
psicológicos. Ver la obra de Zeeman (1976). Se ha intentado, por Bazin y Saunder, aplicar la teoría en la obtención de un sistema fiable en la dinámica presa-depredador, problema que se había tratado antes bajo la teoría de las ecuaciones diferenciales. También se aplica, (Maynard Smith, 1974), a la Ecología, con resultados que al menos ha sido útiles.

La teoría de los fractales

Como sabemos, en 1967, Benoît Mandelbrot, se preocupó de medir la “irregularidad“ de un fenómeno continuo. Con lo que pretendía unificar muchas ideas dispersas anteriores, como la curva de Peano (1890), el conjunto de Cantor (1884), la curva de Koch (1904), el movimiento browniano y el concepto de dimensión generalizado (que fue puesto de manifiesto por Cantor
y Dedekind y formalizado por Hausdorff (1919). Con esto aparecieron los conceptos de objeto fractal y dimensión fractal.
La teoría pone, pues, sobre el tapete, la adecuación del concepto topológico de dimensión, (que es un número entero positivo), para cuantificar el grado de irregularidad de una curva o superficie, y/o el grado de fragmentación de un conjunto. Para ello se dio una nueva definición de dimensión, que no es necesariamente entera. El primero en darla fue Hausdorff y fue elaborada por Besicovitch, en 1934.
Estas ideas de Mandelbrot han permitido realizar estudios de hidrología, turbulencias, ráfagas, anatomía, botánica, así como meterse de lleno en el estudio interior del pulmón. Representar muy adecuadamente los errores de transmisión, estudios sobre las galaxias, etc.

Teoría de los conjuntos Fuzzy

En 1965, L. A. Zadeh, construye su teoría sobre los conjuntos fuzzy, basada en la idea de quebrar la lógica binaria en la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto; es decir, los elementos pertenecen a un conjunto con su propio grado de pertenencia, grado que depende del elemento y del conjunto y que por tanto, varía de un elemento a otro dentro de un mismo
conjunto y, para un mismo elemento, de un conjunto a otro. Con esta idea, aparentemente trivial, se puede matematizar el concepto de vaguedad, concepto aparentemente contrapuesto a la rigidez lógica de las matemáticas clásicas. Con ello se destruye principios tan “indiscutibles“ como el principio del tercio excluido o el principio de no contradicción. Así podemos matematizar
ciencias empíricas como la economía, sociología, lingüística, ética, estética, medicina, psicología, etc.. Citemos algunos éxitos de esta teoría, por ejemplo, la introducción del concepto de conjunto borroso y medida borrosa de sucesos vagos, por parte de Sugeno, 1974, cuya aplicación en las preferencias electorales ha tenido un espectacular éxito.
El grave inconveniente de la teoría de los conjuntos borrosos aparece a la hora de dar una definición correcta de “relación o de grafo borroso“, conceptos introducidos por el propio Zadeh, Rosenfeld, Yeh, y Bang, en la primera mitad de la década de los setenta.

La teoría de grafos y el problema de los cuatro colores

Como sabemos, la teoría de grafos tiene su remoto origen en la topología, en particular en el problema de los siete puentes de Königsberg (Euler, 1736) y el problema relativo a los elementos constitutivos de un poliedro y sus relaciones (Euler, 1750). Como teoría independiente de los problemas topológicos se irá configurando a partir de la segunda mitad del siglo XIX, por N. L. Biggs. Su potencial teórico se pondría de manifiesto en el XX, por el impulso de grandes autores como Ramsey, con su célebre teorema, y el problema de los cuatro colores. En 1976, tuvo lugar un hecho curioso en el mundo de las matemáticas: La “demostración“ de Appel y Haken, del problema de los cuatro colores. Este problema era muy antiguo, lo había conjeturado Guthrie en 1852 y propuesto a la London Mathematical Society por A. Cayley, en 1878. Su enunciado era:
Todo mapa plano se puede colorear sin usar más de cuatro colores distintos, siempre que entendamos con ello que nunca dos países con frontera común pueden tener el mismo color. (El mapa se convierte automáticamente en un grafo).
La primera reducción a mapas (grafos) normales, y la afirmación de que jamás más de tres regiones se encontrarán en un mismo vértice, ni jamás una región se hallará rodeada totalmente por otra se debe a Kempe (1879), dando una demostración basada en la existencia de configuraciones inevitables reducibles; sin embargo, su demostración resultó ser falsa, y de
nuevo el problema quedaba abierto. Appel y Haken se basaron en las ideas de Kempe, pero ampliaron el conjunto de configuraciones inevitables de cuatro a millares, algunas de ellas eran tan complicadas que su reductibilidad sólo podía establecerse utilizando un ordenador de alta
velocidad. Así se planteó la cuestión del concepto de “demostración matemática por ordenador“. La teoría de Frank Plumpton Ramsey, (1903- 1930), tiene su punto de partida en la generalización del principio del palomar.

Teoría de la recursividad

Con la aparición del teorema de incompletitud de Gödel, aparecen en el ambiente matemático las “funciones recursivas“, que en 1936, conducen a Turing al concepto de algoritmo, y con él, al concepto de “función computable“, y a la teoría de la computabilidad teórica o de la recursión.
Hacia los sesenta se multiplican los trabajos teóricos iniciados por Kleene, introduciéndose el grado de complejidad por (Simpson, 1977) y la teoría de la complejidad, que plantea, no si una función es computable o no, sino si tal computación es realizable en la práctica, para ello conduce a la necesidad de introducir nuevos parámetros, como el tiempo de computación, el volumen de
memoria de almacenamiento, el número de bucles de la computación, etc.
Entre los resultados más notables están los teoremas de Blum (1967), Young (1973), sobre el aumento de velocidad en la computación. Se ha planteado en la actualidad, el problema que consiste en identificar las funciones f(x) tales que son computables en un tiempo acotado por un polinomio en x. Problema que se complica, si se introducen las máquinas no deterministas, es decir, aquellas que tienen cierto grado de libertad para elegir una instrucción en cada
configuración. Así, aparece el problema de Rabin (1979), que consiste en saber si toda función computable en una máquina no determinista en un tiempo polinómico es computable en una máquina determinista.

Indecibilidad y incompletitud

Otra cuestión ligada con el teorema de incompletitud de Gödel, que establece la existencia de una sentencia del lenguaje formal aritmético de primer orden, verdadera, pero no-demostrable, en la teoría de Peano de primer orden, la constituye la naturaleza de dicha sentencia. En 1977, Paris y Harrington, establecen un teorema, íntimamente relacionado con el de Ramsey, verdadero
para los enteros, pero no demostrable en la teoría de Peano de primer orden.
El teorema de Ramsey establece:
En el caso infinito.- Para todo k, r, dada una r-coloración de los k-conjuntos de N, existe un subconjunto infinito de N monocromático. En el caso finito.- Para todo k, r, t existe un n tal que, dada una r-coloración de los k-conjuntos de n, existe un t-conjunto monocromático. (En este teorema aparece el concepto de r-coloración de los k-conjuntos de un conjunto S, que es en realidad una función j cuyo dominio es la familia de los subconjuntos de S con k-elementos (k-conjuntos) y cuya imagen es r).
El teorema de Paris y Harrington es una proposición modificada del teorema de Ramsey, dice:
Para todo k, r existe un n tal que, dada una r-coloración de los k-conjuntos de A = {k+1,....,r}, existe un conjunto grande B Ì A, monocromático.
Este teorema es verdadero, pero no demostrable en la teoría aritmética. (Spencer y Smorynski) (1984).
También en relación con el teorema de Gödel, se plantean los problemas de indecibilidad. Uno de estos problemas es relativo a la veracidad de las sentencias del cálculo de predicados: no existe algoritmo matemático alguno que nos diga si una sentencia concreta del cálculo de predicados de primer orden es válida o no; este resultado lo demostró Church en 1936.
En teoría de grupos, había surgido el llamado problema de las palabras; este problema hacía referencia a los grupos finitamente presentados por un conjunto S de generadores. Dada una palabra, un elemento del grupo, ¿existe un algoritmo que nos diga si esta palabra es el elemento neutro del grupo?. La respuesta negativa la dieron Novikov, en 1955 y Boone, en 1957. En 1970 Y. Matiyasevich, estableció la indecibilidad del problema diez de Hilbert: no existe ningún algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica dada tiene o no tiene solución. Este trabajo es, pues, la culminación de los trabajos de M. Davis, J. Robinson y H. Putnam.

Teoría de los modelos

En las primeras décadas del XX, el logicismo y el formalismo tienden a reducir el lenguaje matemático a meros complejos de símbolos, cuyo significado viene impuesto por los axiomas y las reglas deductivas del sistema formal. Este vaciado de la intuición conlleva, (Von Neumann, 1925; Skolem, 1934) a la necesidad de recurrir a estructuras matemáticas en las que el lenguaje formal adquiere un cierto sentido. Gracias a este sentido interpretado es posible dar
una definición correcta de “sentencia válida“ (Tarski, 1935), y estos conceptos conducen a la “categoricidad“ de los modelos (Veblen, 1904), una teoría formal es categórica si sólo existe un modelo esencialmente diferente. - Conduce a la completitud e incompletitud, en el sentido de saber si todas las sentencias válidas en una familia de modelos admiten una axiomatización-, y
conducen a la “compacidad“ -un conjunto de sentencias es consistente si, y sólo si, lo es cualquiera de sus partes finitas-. Estos conceptos condujeron a los grandes teoremas de la teoría de los modelos: teoremas de completitud, de compacidad (Gödel), de Löwenheim-Skolem-Tarski, de incompletitud de la aritmética (Gödel) 1931.
La teoría de los modelos se convertía en una herramienta de las matemáticas y de la lógica, proporcionando tres vías matemáticamente fructíferas: ¿qué podemos decir de una teoría a través del conocimiento de la familia de sus modelos y de sus propiedades?, ¿qué podemos decir de los modelos, analizando la teoría?, ¿cómo podemos construir modelos nuevos de ciertas teorías dadas y cómo podemos relacionar las teorías que admiten una cierta clase de modelos?.
Aparecen las técnicas de construcción por “ultraproductos“, (Los, 1965) y ligada con ellas la construcción de los modelos no-standard y el análisis nostandard (Robinson, 1961); se vincularían con la teoría de los modelos los resultados de “álgebra universal“. Para poner de manifiesto la importancia que ha adquirido la teoría de modelos en nuestros días basta indicar la importancia que están adquiriendo los conceptos de model-companion de Robinson (1973)
y sus resultados en la teoría de los cuerpos reales tan vinculados a la geometría algebraica.

La teoría de conjuntos

Otra teoría que ha aportado resultados de “fundamentación de las matemáticas“ totalmente inesperados ha sido la teoría de conjuntos y su axiomatización. Consistencia relativa del axioma de elección (AC) y de la hipótesis general del continuo (HGC). En 1963, Cohen, estableció la
independencia de estos dos postulados con respecto a los demás axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). Con esta aportación se pone de manifiesto la posibilidad de considerar una u otra teoría axiomática de conjuntos según las características del problema a resolver.
El trabajo de Gödel en 1938 sobre el “axioma de constructibilidad“; este axioma implica AC y HGC. Mas el axioma de Martin, permite dar respuesta a los mismos problemas que resuelve el axioma de constructibilidad, pero las respuestas son las opuestas. ¿?.
Otro axioma que aparece es el “axioma de determinación“ (Mycielsky- Steinhaus). Es incompatible con el axioma de elección, pero permite demostrar algunos problemas de análisis matemático. Etc.

Documento original

El quehacer matemático un recorrido por la historia. Parte II
http://personales.ya.com/casanchi/did/histoparte1.pdf [en linea]

MATEMÁTICAS, PAPIROFLEXIA

José Ignacio Royo Prieto



Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa):

• Se empieza con un único trozo de papel cuadrado;
• Sólo se puede plegar el papel;
• No se pueden realizar cortes;
• No se puede usar pegamento



Relación Matemáticas-Papiroflexia
• Papiroflexia modular
• Constructibilidad de puntos con Origami
• Diseño de figuras con métodos matemáticos

Poliedros
• Definición: conjunto conexo de R3 formado
por polígonos (caras) que cumplen:
cada lado de cada cara es compartido con otra cara;
en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.

Poliedros convexos
Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas:
Siendo C el número de caras.

Sólidos Platónicos
- Definición: Un poliedro convexo es regular si:
-sus caras son polígonos regulares;
-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.
-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:

Papiroflexia modular
• Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)
• El interés para con las matemáticas es doble:
– representación de poliedros y otras figuras;
– la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.

Problema de la coloración
• Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales
• Utilizaremos el grafo plano de un poliedro Icosidodecaedro

MATEMÁTICAS

"LA REINA DE LAS CIENCIAS"

Los desafíos que enfrentan hoy la ciencia y la ingeniería son tan complejos que sólo pueden resolverse con la relación interdisciplinaria y en la cual la matemática juega un papel muy destacado. La matemática, la ciencia y la ingeniería tienen una larga y estrecha relación que es crucial y de creciente importancia para ellas. Disciplinas como la física y la ingeniería eléctrica que han sido siempre muy matemáticas lo son aún cada día mas. Ciencias como la biología, la fisiología y la medicina en las cuales la matemática no tenía una presencia relevante, están demandando nuevas herramientas matemáticas para poder analizar y explicar muchos problemas sobre los cuales tienen cada vez mas información experimental. También la matemática es requerida hoy de manera muy significativa por la tecnología de las comunicaciones, las finanzas, la elaboración de manufacturas y los negocios. El progreso científico, en todas sus ramas, requiere una estrecha y fuerte interacción con la matemática.


Complejidad y dimensión: como la realidad casi nunca es simple requiere modelos complejos. Sin embargo modelos mas complejos conducen eventualmente a problemas fundamentalmente diferentes, no sólo mas grandes y mas complicados. Es imposible caracterizar sistemas desordenados con las mismas herramientas que son adecuadas para los sistemas de buen comportamiento.

Incertidumbre: aunque la incertidumbre es inevitable, ignorarla puede justificarse cuando se estudian procesos físicos aislados, de pequeña escala y bien entendidos. Esto no es así para sistemas de gran escala con muchas componentes, como la atmósfera y los océanos, procesos químicos donde no hay forma de determinar exactamente la secuencia de reacciones y por supuesto en las aplicaciones biológicas y médicas, o en sistemas que dependen de la participación humana.

Múltiples escalas: la necesidad de modelar o calcular en multiples escalas surge cuando escalas muy dispares (de espacio, de tiempo o ambos) contribuyen simultáneamente a un resultado observable. Por ejemplo en una combustión turbulenta, la forma de la cámara es tan importante como lo son las pequeñas fluctuaciones de la temperatura que controlan las reacciones químicas.

Computación: a los dos elementos clásicos del método científico, el experimento y la teoría, se les ha unido la computación como una tercera componente crucial. Cómputos que eran intratables hace pocos años atrás son realizados hoy de manera rutinaria, y muchas personas esperan poder dominar el tamaño y la complejidad de los problemas con el advenimiento de computadoras mas grandes y mas rápidas. Ésta es una vana esperanza si se carece de la matemática adecuada. Por mas de cuarenta años, el incremento de la potencia en la resolución de problemas gracias a mejores algoritmos matemáticos ha sido comparable con el crecimiento de la velocidad de las computadoras. En muchas situaciones, especialmente en problemas con múltiples escalas o caóticos, máquinas mas veloces no serán suficientes.

Probabilidades y Estadística

Entre los posibles campos de aplicación se encuentran:
§ Métodos estadísticos en genética: análisis de datos en “microarrays” (tratamiento de la expresión de numerosos genes en paralelo, de gran importancia en la investigación farmacéutica).
§ “Linkage analysis”: métodos estadísticos destinados a la detección de secuencias de genes asociados a características hereditarias, en particular enfermedades. Análisis de supervivencia: técnicas estadísticas para la predicción de sobre vida en pacientes a partir de la medición de variables clínicas y/o tratamientos utilizados.
§ Análisis de la varianza: técnica estadística para medir la importancia de distintas fuentes de variabilidad. Se aplica, por ejemplo, a los items anteriores.
§ Series de tiempo: modelos utilizados en Economía y Finanzas para predecir volatilidades.
§ Estadística Espacial: se aplica a la prospección de materiales e hidrocarburos, a silvicultura y al análisis de experimentos agrícolas.
§ Procesamiento estadístico de imágenes: es un tema con vastas aplicaciones en Meteorología, Agricultura y Ecología.
§ Procesos estocásticos: entre las aplicaciones de esta área de la Teoría de Probabilidades se pueden mencionar las siguientes:
* Ecuaciones diferenciales estocásticas: se aplican en Física (por ej. En Mecánica
* Estadística) y son de suma importancia en Finanzas.
* Campos Markovianos: se utilizan en el procesamiento de imágenes.
* Análisis de traza sísmica: se aplica en la prospección de yacimientos de petroleo.
* Diseño y control de redes de tránsito.




Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico

Las ecuaciones diferenciales juegan un papel esencial en el modelado de procesos físicos, químicos, biológicos, económicos, atmosféricos, oceanográficos, etc.
También son utilizadas en la industria para el control de procesos de producción, para la simulación por computadora de procesos, etc.
Además, son parte fundamental de modelos ecológicos y de propagación de infecciones.


Análisis Armónico, Funcional y Teoría de Aproximación

Importantes desarrollos en Análisis Armónico, Funcional y Teoría de Aproximación, tales como Descomposición Atómica de Espacios de Señales, Teoría de Wavelets, Teoría de Marcos, Análisis de Transformadas, Acotación de Operadores, Teoría de Muestreo, Caracterización de Espacios de Funciones como Modelos en Ingeniería, Espacios de Aproximación y Multiresolución, Análisis Tiempo Frecuencia, constituyen el marco teórico adecuado para el tratamiento, entre otras, de las siguientes aplicaciones tecnológicas:
§ Procesamiento de Imágenes - Imágenes Biomédicas - Mamografía digital
§ Radiografía Digital - Resonancia Magnética y Tomografía
§ Proceso de la Voz - Eliminación de Ruido - Teoría de Antenas
§ Telefonía celular y satelital - Telecomunicaciones
§ Transmisión de Datos – Transmisión de Imágenes por Internet
§ Tecnologías militares para la defensa

Geometría Algebraica y Teoría de Números

Tanto en la Teoría de Códigos como en la Criptografía se aplican, de manera esencial, sofisticados conceptos y técnicas de la Teoría Algebraica de Números (congruencias, sumas exponenciales, ecuaciones de cuerpos finitos) y de la Geometría Algebraica (curvas elípticas).

Geometría Diferencial, Física-Matemática y Teoría de Control

Entre las aplicaciones y las actividades interdisciplinarias relacionadas con esta área pueden ser mencionadas las siguientes:
* Teoría de Bifurcación y Robótica: estudia los saltos cualitativos que aparecen en el comportamiento de sistemas mecánicos, eléctricos o electrónicos y su posible estabilidad. Esto es de crucial importancia en el diseño de grúas robóticas, piernas y brazos de robots, vehículos autónomos como los utilizados en la explotación minera y en rodamientos sobre aire.

* Sistemas Dinámicos Lagrangianos y Hamiltonianos: en los sistemas mencionados en el párrafo anterior se utilizan, cada vez con mayor eficacia, métodos de la mecánica geométrica Lagrangiana y Hamiltoniana. A esto hay que agregar aplicaciones a la Física de plasmas y al diseño de cristales líquidos y materiales de todo tipo así como al control de su comportamiento (caso de pantallas de cristales líquidos, por ejemplo). Por otra parte, el diseño de órbitas y el control de naves espaciales se basa en técnicas de la Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana.

En todos los casos el o los grupos que aspiren al financiamiento deberán demostrar claramente el carácter interdisciplinario del proyecto tanto en sus objetivos como en la integración del grupo humano que lo desarrollará. En otras palabras, el problema a resolver debe ser extraído de una disciplina diferente de la matemática y los integrantes del grupo de investigación tienen que pertenecer a dos o más disciplinas siendo la matemática sólo una de ellas. Sobre estas bases se definen las siguientes posibles líneas de acción:

Matemática y Biología: A medida que la biología se convierta en una de las ciencias dominantes, se requerirán nuevos métodos para estudiarla. Muchos de esos métodos provendrán de la computación, la química, la física y la matemática.



Matemática e informática y comunicaciones: Este amplio campo podría ocasionar tantos cambios en la sociedad como la revolución industrial. Quienes entren temprano tendrán una ventaja competitiva de largo plazo. Los que tarden mucho en incorporase encontrarán dificultades para ponerse al día.

Matemática e Ingeniería: En la modelización de procesos mediante representaciones matemáticas la resolución numérica juega un papel esencial en razón de que la complejidad de los fenómenos habitualmente no permite soluciones analíticas. La matemática juega un papel crucial no sólo en la formulación de los modelos sino también en el desarrollo de las necesarias herramientas para resolverlos.

Números naturales y recursividad
Rafael F. Isaacs G.

Números naturales

Cual es el primer conjunto de números que estudiamos desde la escuela primaria?
Se sabe que los números naturales constituyen la estructura básica de la Matemática; así el camino usual que se recorre es, partiendo de los naturales (N) pasar a los enteros (Z), de estos a los racionales (Q), luego a los reales (R) y finalmente a los complejos (C); el paso de un conjunto numérico a otro se da por la necesidad de ampliar cada conjunto a otro (que lo contenga) y en el cual se puedan resolver ciertos problemas que no tienen solución en el conjunto dado.

Una definición muy “popular” pero nada formal de los números naturales dice que “son los números que nos sirven para contar” (1,2,3,4,...). Sin embargo en Matemáticas se debe dar una definición formal y una manera (muy usual) de hacerlo es axiomáticamente, es decir estableciendo una lista de “reglas” que se aceptan sin demostración y que definen el concepto.
Así, para el caso de los números naturales, el conjunto de los axiomas, universalmente aceptado es el conjunto de axiomas propuesto por el matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932), que usan solo tres términos técnicos:
“Numero natural”
“Primer numero natural”
La función “el siguiente de”.

En los axiomas de Peano se establece la “esencia” de los números naturales que corresponde a la idea intuitiva que tenemos de ellos: “empiezan en algún momento” (existe el primero) y “van en fila” (uno enseguida de otro).
Los axiomas son 5:

N1. El 1 es un numero natural (Aquí puede ser 1 o 0, o cualquier otro “símbolo”, en realidad lo que importa es que existe al menos un natural).
N2. El siguiente de todo numero natural es también un numero natural.
N3. Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números son iguales.
N4. No existe un numero natural cuyo siguiente es 1 (aquí nuevamente puede ser 1 o 0, o cualquier otro “símbolo” lo que importa es que existe un “primer elemento”).
N5. Si S es una colección de números naturales que cumple:
(i) 0 Î S
(ii) Cada vez que un natural esta en S, también el siguiente de el esta en S.
Entonces S es el conjunto de todos los naturales.

Definiciones Recursivas

Otra aplicación importante del principio de inducción matemática la encontramos en las definiciones recursivas. Un concepto se dice definido recursivamente, si se define explícitamente para el caso n = 1 (o n = 0, o en general para un “primer caso”) y se da una regla (o lista de reglas) que lo definen para el caso n-esimo, en términos del caso anterior. Por ejemplo el concepto de “potenciación” se puede definir recursivamente así: “Para a 2 R definimos:
a1 =: a y an =: an−1a, para todo n > 2”; de esta manera tendríamos por ejemplo que a2 = a2−1a = a1a = aa, a3 = a3−1a = a2a = aaa y así sucesivamente.
Muchas sucesiones de números se pueden definir recursivamente: Sea por ejemplo (Sn) nÎN la sucesión definida por: S1 =: 1 y Sn+1 = 2Sn + 1 entonces los 4 primeros términos de esta sucesión serán: 1, 3, 7, 15
En realidad, podemos afirmar que toda definición recursiva al fin y al cabo lo que siempre define es una sucesión en un determinado conjunto X, es decir una función f del dominio N y codominio X; así por ejemplo las potencias de una base fija a se pueden obtener con la función f: N −> R definida por f (1) =: a y f(n) =: f(n − 1) a para n > 2.

RESEÑA HISTÓRICA DE ALGUNOS PROBLEMAS EN TEORÍA DE NÚMEROS



El propósito de este trabajo, es describir, en forma sucinta, la historia de algunos problemas centrales de la Teoría de Números. Muchos de ellos han ocupado la atención de matemáticos, y aficionados a las matemáticas por varias generaciones, y en determinados casos hasta por siglos. Entre estos problemas se destacan: la Conjetura de Golbach, el Último Teorema de Fermat, el Teorema de los Números Primos, el Problema de Catalán y el Décimo Problema de Hilbert.

Gauss consideraba a las matemáticas como la reina de las ciencias y a la teoría de números como la reina de las matemáticas. Este calificativo dado por Gauss a la teoría de números, tiene plena justificación, si se tiene en cuenta que, la historia de las matemáticas la tiene como su columna vertebral y porque grandes matemáticos, desde la antigüedad hasta nuestros días, la han cultivado y mantenido como una de las áreas más fecundas del terreno matemático. Los problemas de la teoría de números tienen diferente grado de dificultad. Algunos son fáciles de plantear y fáciles también de resolver, como es el caso de establecer la infinidad de los números primos. Fue Euclides, quien, en forma por demás elegante, mostró que el conjunto de números primos es infinito.

Los números enteros, materia prima de la teoría de números, tienen en conjunto, propiedades sumamente interesantes como veremos en el transcurso de la presente exposición. Empecemos por decir que cada entero en sí es interesante, pues si hubiese un conjunto de enteros positivos no interesantes, el menor de ellos ya sería de interés, contradiciendo su propia definición.

Godfrey Harold Hardy (1877-1947), el famoso matemático inglés, cuenta que en cierta ocasión comentó a Ramanujan, haber viajado en el taxi No. 1729, número éste, que en su opinión no tenía nada de interesante. El genio hindú le respondió: “Al contrario, 1729 es un numero muy especial, ya que es el primer entero positivo que puede expresarse como la suma de dos cubos, exactamente en dos formas diferentes”. En efecto, 1729 = 103+93 = 123+13. El número 123 = 1728, estudiado por Ramanujan, desempeña un papel importante en la teoría de formas modulares elípticas, área en la cual contribuyó profusamente.

S. Ramanujan (1887-1920) y G. H. Hardy (1877-1947)

Los enteros positivos tuvieron singular importancia en la filosofía de la escuela pitagórica (siglos VI-III A.C.). Para Pitágoras todo era números y el número era la única vía de llegar a la esencia de las cosas. Los enteros positivos fueron clasificados como femeninos (pares) y masculinos (impares). A los primeros números se les asociaron atributos humanos. Por ejemplo, el 2 significaba opinión, el 4 justicia (por ser el primer cuadrado perfecto), el 5 matrimonio (suma de par e impar). El uno no era considerado estrictamente como un número, si no como el “divino generador de todos los números”. De otra parte, para los pitagóricos, el uno era el punto, la recta el dos, una superficie el número tres y el cuatro estaba ligado a los sólidos. De la suma de estos, aparecía el número diez, el tetractys, considerado por ellos como potencia sagrada y omnipotente. El diez estaba clasificado entre los números triangulares.

LAS TRIPLAS PITAGÓRICAS Y EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT.

Hay suficiente evidencia como para creer que los babilonios del II milenio antes de Cristo, conocían un procedimiento para obtener soluciones enteras de la ecuación :

x^2 +y^2 =z^2 (*)


En efecto, en los años 40, fueron interpretadas por O. Neugebauer y A. J. Sachs, varias tablillas babilónicas de contenido matemático entre ellas, la Nº 322 de la colección Plimpton, en la cual aparecen muchas triplas pitagóricas (a, b, c) que satisfacen (*). La tripla (3, 4, 5) es una de ellas. Esta tripla pudo haberse encontrado por ensayo y error, pero no podría decirse lo mismo de la tripla,

(4961, 6480, 8161)

Que también aparece en la tablilla 322. Esto muestra que la cultura babilónica poseía probablemente la fórmula parra encontrar valores que satisficieran la ecuación diofantina. En el libro XII de los “Elementos” de Euclides se describe el método para hallar todas las triplas pitagóricas primitivas que resuelven la ecuación mencionada. En notación moderna la solución puede expresarse así:

(**) x = 2uv, y =u^2-v^2, z = u^2+v^2

Donde u y v son enteros positivos de diferente paridad (uno par, el otro impar), u > v y u, v primos entre sí. Que (x, y, z), dados en (**) satisfacen (*), se obtiene directamente de la identidad algebraica:

(u^2 + v^2) = (u^2- v )^2 + (2uv) , donde x = (2uv)^2, y = (u^2- v )^2, z ^2= (u^2 + v^2 ) 2.

La proposición más nombrada y quizás con el mayor número de demostraciones erróneas en la historia de las matemáticas, es el llamado Último Teorema de Fermat. PIERRE DE FERMAT (1601-1665), aunque jurista, logró su fama como matemático de gran creatividad. Al margen de su copia del libro “Aritmética”, escrito por Diofanto y editado por Bachet en 1650 (véase facsímil de la portada al comienzo del artículo), Fermat escribió:

“Descomponer un cubo en dos cubos, una cuarta potencia o en general una potencia en dos potencias de la misma denominación, por encima de dos, es imposible. Yo he encontrado una maravillosa prueba de este hecho, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla”.

Gauss y el Teorema de los Números Primos

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, descubrió en 1792 que los números primos no están caprichosamente distribuidos en el conjunto de los números enteros, sino que al contrario, siguen invariablemente una ley en cuanto a su densidad. Esta ley se conoce como el Teorema de los Números Primos.

Teorema de los Números Primos. Si π (x) representa el número de primos en el intervalo [1, x], entonces π (x) es asintóticamente igual a x/logx. (logx significa aquí, logaritmo natural de x). Más exactamente

Gauss llegó a esta conclusión al comparar la integral,



Con el número de primos que puede haber en el intervalo [a, b]. El observó por ejemplo, que el número de primos en el intervalo entre 2600000 y 2700000 es de 6762, número éste, muy próximo a la integral de arriba; cuyo valor para a=2600000 y b=2700000 es de 6761.332. Hay sobrada razón entonces, para asignarle a Gauss la prioridad del descubrimiento de este teorema. No obstante, debe reconocerse que, quien primero enunció la conjetura que condujo al teorema, fue Adrien Marie Legendre (1752-1833), en la forma:


Donde A y B son constantes.

Gauss fue un perfeccionista en todo; solamente cuando obtenía un resultado muy pulido, permitía su publicación. Su dogma siempre fue: “PAUCA SED MATURA” (poco, pero maduro). Esto explica, por qué muchos resultados atribuidos a él, no fueron publicados en vida del autor. Algunos de éstos se encontraron en su diario, otros más, se obtuvieron de la correspondencia que mantuvo con científicos contemporáneos.

El Problema de Catalan y la Conjetura de Goldbach

El problema de Catalan es otro ejemplo de un problema de fácil formulación pe­ro de muy difícil prueba. Este tiene que ver con potencias de en­teros, digamos, los cuadrados: 1, 4, 9,…, cubos: 1, 8, 27,… cuartas potencias: 1, 16, 81…, etc. Hace más de cien años, el matemático belga Eugène Catalan (1814-1894), conjeturó que las únicas dos potencias de enteros, que difieren en 1, son 23 y 32, esto es 8 y 9. El problema se puede expresar en términos de ecuaciones diofantinas en los siguientes términos. No existe soluciones enteras, diferentes de x =3, y =2, u =2, y v =3 para la ecuación diofantina:

, con x > 0; y>0; u>1; v>1.

Solamente hasta hace muy poco el matemático inglés Alan Baker (Medalla Fields 1970), lo­gró probar la conjetura, salvo para un número finito de casos. Sin embargo el número de casos excepcionales, aunque finito es demasiado grande para verificarlo con ayuda del computador. Recientemente el matemático suizo Preda Mihailescu[1] logró resolver en forma a­firmativa este centenario y difícil problema.

John E. Littlewood (1885-1977)

En 1742, Christian Golbach (1690-1764), en carta dirigida a Euler, propuso el siguiente problema:


Conjetura de Golbach: Todo número par mayor o igual que 4 se puede expresar como la suma de dos primos y todo número impar mayor que 8 es representable co­mo la suma de a lo más tres primos impares.
Todos los esfuerzos por demostrar la conjetura, resultaron fallidos hasta 1937, cuando el matemático soviético I. M. Vinogradov, demostró que todo impar mayor que cierta constante No (Constante de Vinogradov) se puede expresar como suma de a lo más tres números primos y consecuentemente todo par debe poderse expresar como suma de a lo más 4 primos. Una cota superior encontrada para No, es 10350000. Este número aunque grande, es comparativamente pequeño en rela­ción con otro número que aparece en conexión con π(x) y conocido como número de Skewes y corresponde a:


Este número según Hardy era el mayor número natural conocido, usado con un propósito especial. El número de Skewes representa una cota superior debajo de la cual existe al menos un natural, tal que Se había conjeturado que el número de primos en el intervalo [1 , x] siempre era menor o igual que Li(x). La conjetura tenía por soporte el hecho de que todos los valores calculados satisfacían la desigualdad. Sin embargo a comienzos del siglo, J. E. Littlewood (l855-1977), probó que hay infinitos naturales que violan la conjetura. Curiosamente, Littlewood no logró mostrar ninguno en particular. En la década de 1930 su discípulo S. Skewes encontró que existe al menos un número natural, menor que la cota anotada arriba para el cual la conjetura no se cumple. Esta cota se ha ido bajando, hasta obtenerse en 1.65 x 101165, debajo de la cual existe un natural tal que

π(x) >Li (x).

UN PROBLEMA DE HILBERT Y LA INFINITUD DE LOS PRIMOS GEMELOS.

David Hilbert (1862-1943) propuso en el Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París en 1900, 23 problemas, el décimo de los cuales pregunta por la existencia de un algoritmo para determinar si una ecuación diofantina tiene o no solución. El problema sólo vino a resolverse en 1970 con el trabajo brillante del matemático soviético Yuri Matyasevich, quien probó la no existencia de tal algoritmo. Un algoritmo es un proceso que en un número finito de pasos conduce a un resultado determinado. El trabajo de Matyasevich fue la culminación de todo un cuerpo de ideas desarrollado por Julia Robinson, Hilary Putnam y Martin Davis en relación con funciones recursivas y computabilidad. Los números de Fibonacci dieron la clave en el trabajo de Matyasevich para la solución del décimo problema de Hilbert.