FLEXÁGONOS

Los flexágonos son un descubrimiento del siglo veinte por Arthur H. Stone, un estudiante graduado de la Universidad de Princeton en América, descubriéndolos en 1939 mientras estaba doblando tiras de papel. Instalaron un Comité de flexágonos en la Universidad de Princeton para investigar los flexágonos. En 1940 dos miembros del comité trabajaron sobre una teoría matemática de flexágonos pero ésto nunca fue publicado. El comité se disolvió en 1941 continuando en América, entró en la Segunda Guerra Mundial y por algún tiempo esta actividad fue poco visible. Interesados en revivirla más tarde en los años 1950's con la publicación de dos artículos de flexágonos en la revista Scientific American y la publicación del primer documento de flexágonos, se puede decirse que el tema alcanzado su madurez con esta edición en 1962 dando un informe comprensible sobre flexágonos.

Arthur H. Stone (left)
La palabra flexágono proviene de los términos flexible y hexágono, ya que los primeros modelos creados por Stone tenían seis lados. Actualmente, para denominarlos se utilizan dos prefijos, indicando el primero el número de caras y el segundo el de polígonos que forman cada cara, seguidos de la terminación -flexágono. Así por ejemplo, el flexágono original creado por Stone sería un tri-hexa-flexágono (tres caras, cada una con seis triángulos), mientras que el segundo modelo sería un hexa-hexa-flexágono (seis caras y seis triángulos).
Posteriormente se crearon modelos de cuatro lados, a los que en sentido estricto, al no tener forma de hexágonos, no se debería llamar ni "tetraflexágonos" ni "flexágonos cuadrados", sino, por ejemplo, "caleidociclos cuadrados", aunque en la práctica sí se emplean esos términos.

Antecedentes

El primer tipo de flexágono que se descubrió es el conocido como el trihexaflexágono, que es el flexágono más simple que existe dentro de la clasificación de los hexaflexágonos, llamados así porque su contorno tiene la forma de un hexágono, cuenta con 9 triángulo equiláteros y uno adicional para unir la tira, la red para un modelo de papel de un trihexaflexágono es mostrada en la en la Figura.

Figura: Red del trihexaflexágono

Instrucciones generales para construir un flexágono

1. Plegar las líneas entre las hojas para formar las bisagras. Asegure que las hojas adyacentes se sobrepongan cuidadosamente cuando se doblen juntas.

2. Trasladar cada número que se encuentra entre paréntesis al reverso de la cara de la hoja y quitar éste de la cara superior.

3. Copiar cualquier bisagra o vértice con letras sobre el reverso de la red. Las hojas deben coincidir con su correspondiente número al doblarlos juntos.

4. Comenzando con el número más grande posible y trabajando hacia abajo hasta que solamente las hojas numeradas con el 1 y 2 sean visibles.

5. Unir los extremos de la red que están señalados con líneas punteadas usando cinta adhesiva transparente.

6. Decorar el flexágono para distinguir con mayor facilidad cada ciclo o cara.

PROBLEMAS MATEMATICOS IMPORTANTES Y PROBLEMAS NO RESUELTOS



El 8 de Agosto de 1900, en París, un profesor de la Universidad de Göttingen dio una conferencia que capturaría la imaginación de los matemáticos del siglo XX. El profesor era David Hilbert y su plática se tituló simplemente “Problemas Matemáticos”. Hilbert era uno de los matemáticos más prominentes de su generación. Poco tiempo después de haberse doctorado, se interesó en la teoría de invariantes algebraicos. (Por ejemplo, dada una forma cuadrática, el determinante de la matriz correspondiente es invariante bajo rotaciones). En 1888, a los 26 años, Hilbert demostró que, dada una forma algebraica, existe un número finito de invariantes que generan a todos los demás. (Una especie de base). Con este resultado y con su trabajo posterior, Hilbert prácticamente resolvió todos los problemas interesantes que había sobre invariantes.
Habiendo agotado ese tema, se dedico a la Teoría de Números. Rápidamente descubrió unas demostraciones de la trascendencia de ð y de e más simples y directas que las demostraciones originales. Su principal contribución fue una generalización de la Ley de Reciprocidad Cuadrática (publicada en 1898), que les permitió a él y a matemáticos posteriores extender la Teoría de Números a campos más abstractos y generales.

David Hilbert



Entonces, volvió a cambiar de tema. En 1899 publicó el libro “Fundamentos de la Geometría”. Una exposición axiomática de la Geometría (Euclidiana y No Euclidiana) que se sujeta a los requisitos más estrictos del rigor matemático que se estaban desarrollando en el momento y que son la norma hoy en día. A partir de entonces, Hilbert estuvo muy interesado en los Fundamentos de las Matemáticas. En particular, se preocupó por la existencia de una colección de axiomas que fuera consistente y completa.
Para la solución de ciertas ecuaciones que aparecen en la Física, un método muy común es encontrar una función que minimice cierta integral (El Principio de Dirichlet).
Como el problema proviene de una situación física, la gente simplemente asumía la existencia de dicha función minimizadora. Pero a mediados del siglo XIX, Weierstrass dio ejemplos donde no existía tal función. Sin embargo, el Principio de Dirichlet parece tan simple y natural que Hilbert decidió tratar de rescatarlo. Y en Septiembre de 1899 publicó un artículo donde demostró que, bajo ciertas condiciones, el Principio de Dirichlet es válido. Dichas condiciones son satisfechas por los problemas que aparecen más comúnmente en la Física, pero excluyen los ejemplos puramente matemáticos de Weierstrass.
Es claro que Hilbert estaba interesado en varias áreas de las Matemáticas. Su método de trabajo consistía en concentrarse en algún problema y tratar de simplificarlo, de hacerlo más claro. Para él, el rigor matemático era una herramienta en este proceso. A través del rigor, uno puede evitar las falsas suposiciones que pueden llevar al error y a la confusión.
Con su prestigio en aumento, Hilbert recibió una invitación para dar una conferencia plenaria en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas en 1900. Esta fue la conferencia “Problemas Matemáticos”. En ella habló de la importancia de un buen problema para el impulso de las Matemáticas y de su convicción filosófica de que dado cualquier problema matemático, tarde temprano se le encontrará una solución.
Fue así que propuso una lista de 23 problemas, no como un reto, sino como un incentivo para los matemáticos del nuevo siglo. Esta lista es conocida como “Los Problemas de Hilbert” y consta de problemas importantes en Teoría de Números, Álgebra, Geometría, Análisis, Teoría de Conjuntos
y Fundamentos Axiomáticos.
La lista incluye problemas tan famosos como la Hipótesis del Continuo. Al intentar la solución de los problemas, el objetivo de Hilbert de estimular el crecimiento de las Matemáticas se ha cumplido con creces. Aún hoy, el sueño de muchos matemáticos es contribuir a la solución de alguno de ellos e ingresar así a la elite que se conoce no oficialmente como “The Honors Class”.

En este momento, de los 23 problemas, 16 se consideran básicamente resueltos, 4 son más programas de trabajo que problemas concretos, y 3 permanecen sin resolver (a esta categoría pertenece el problema #8; La Hipótesis de Riemann).

LOS 23 PROBLEMAS DE HILBERT

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia m ás corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia m ás corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.
8. El problema de la distribución de los números primos.
9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de s ólo dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.
21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.








Referencias
http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert
http://www.simonsingh.net/Andrew_Wiles.html
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/Gaceta/historia92.pdf

El Teorema de Fermat

La demostración del último teorema de Fermat (UTF) a manos de Andrew Wiles, completada en 1994, fue uno de los logros matemáticos más prominentes de finales del siglo pasado, y sin duda uno de los eventos científicos que recibió la mayor atención de los medios de comunicación y del público general. No todos los días se resuelve un problema que ha estado abierto por más de 350 años y no todos los días se reporta el trabajo esotérico de un matemático puro en la primera plana del New York Times.

Pierre de Fermat, portada del libro Fermat’s Enigma de Simon Singh

El logro de Wiles ha sido realmente contundente y su demostración es un verdadero tour de force matemático digno de la mayor admiración. La historia personal de Wiles en relación con UTF es sin dudad dramática, tanto por haberse ´el puesto como meta desde joven la resolución del problema y haberlo logrado décadas después, como por los largos años que dedico en completa soledad a su prueba y el error que se descubrió en ella en el último momento. Pero los 350 años de historia de UTF han sido enormemente sobre dramatizados en varios de los lugares donde se han discutido, sobre todo después del logro de Wiles. Esencialmente, UTF fue un teorema al cual pocos matemáticos, y sobre todo muy pocos investigadores destacados de la teoría de números, dedicaron esfuerzos investigativos sostenidos y dignos de ese nombre. Con contadas excepciones, siempre fue muchísima mayor la curiosidad incitada por el teorema que la cantidad de trabajo serio que se le dedicó.

En toda la historia de UTF, el episodio que involucra a Wiles es sin duda el que más se acerca al tipo de drama que una narrativa como la de Singh han tratado de sugerir. La palabra “obsesión” tiene cierto sentido al hablar de Wiles y UTF, sobre todo en los ocho años de reclusión auto -impuesta. El drama llegó a su clímax en la famosa charla de Wiles en Cambridge en 1993 donde presentó sus resultados, y el error encontrado seguidamente que obligó a Wiles a dedicar otros ocho meses antes de poder lograr, en colaboración con Richard Taylor, la conclusión final de su prueba.

El interés de Wiles por UTF empezó, según su testimonio, en la niñez, al haber leído el libro de E.T. Bell, El último problema. Este libro, junto con el más conocido Men of Mathematics, son los dos ejemplos más conocidos de trabajos de popularización de matemáticas en los cuales la sobre dramatización y la repetición de leyendas muchas veces infundadas funcionan como estrategia narrativa central. Pero es este enfoque precisamente el que causó esa gran impresión en muchos jóvenes lectores, y llevó a algunos de ellos a ampliar sus conocimientos y a veces hasta seguir una carrera científica. Este fue sin duda el caso de Wiles. Creo que no es muy arriesgado conjeturar que si el joven Wiles hubiera leído una narrativa
histórica como la que he presentado aquí es muy baja la probabilidad de que esto lo hubiera movido a pensar que UTF era un problema que merece atención y dedicación, y mucho menos que lo hubiera impulsado a seguir una carrera profesional como matemático con la esperanza de llegar él mismo a resolverlo. El libro de Bell logró esto y con creces.

Sea como sea, al convertirse en matemático profesional, Wiles entendió que los métodos existentes para atacar UTF habían sido esencialmente agotados. Dedicarse de lleno a buscar la solución de UTF no parecía una decisión razonable para quien quería desarrollar ahora una carrera matemática. Sin perder sus conexiones emocionales con el problema, Wiles efectivamente desarrollo una carrera distinguida trabajando en otros campos, y entre ellos la teoría de las curvas elípticas. Pero al enterarse en 1986 de la demostración de Ribet, su viejo interés se despertó nuevamente y Wiles decidió ahora dedicarse de lleno a la prueba, que eventualmente llegó a completar como es bien sabido.


En la historia de UTF uno no encuentra suicidios ni vidas enteras (o parciales) dedicadas al teorema, y mucho menos atormentadas o aun obsesionadas por ´el –excepto el caso de Wiles, y tal vez Vandiver. Ha habido matemáticos ocupados con todo tipo de problemas –algunos cercanos a UTF y otros sin ninguna relación quienes a veces incursionaron e hicieron intentos furtivos de resolver el problema, y a veces lograron alguna contribución interesante. También encontramos muchas ideas ingeniosas algunas de ellas, pero no muchas, con repercusiones en la teoría de números en general–, y mucha curiosidad (esencialmente pasiva) de parte de la comunidad matemática. Además, la teoría algebraica de los números se inició a partir de la teoría de Kummer, y ´esta ´ultima se motivó tangencialmente de UTF, pero mucho más crucialmente del problema de reciprocidad.
En resumen: UTF nació en el margen físico del libro de Fermat. Para Fermat mismo y para decenas de matemáticos que se ocuparon de una manera u otra del problema durante más de 350 años él se mantuvo –esencialmente y con contadas excepciones– en los márgenes de sus intereses profesionales y en los márgenes de la investigación matemática en general. Ocasionalmente, el teorema hizo apariciones furtivas en pleno centro del escenario de la teoría de los números. Al final del camino, el trabajo de Wiles significo un profundo y sorpresivo grand finale, sin duda digno de admiración.