PROBLEMAS MATEMATICOS IMPORTANTES Y PROBLEMAS NO RESUELTOS



El 8 de Agosto de 1900, en París, un profesor de la Universidad de Göttingen dio una conferencia que capturaría la imaginación de los matemáticos del siglo XX. El profesor era David Hilbert y su plática se tituló simplemente “Problemas Matemáticos”. Hilbert era uno de los matemáticos más prominentes de su generación. Poco tiempo después de haberse doctorado, se interesó en la teoría de invariantes algebraicos. (Por ejemplo, dada una forma cuadrática, el determinante de la matriz correspondiente es invariante bajo rotaciones). En 1888, a los 26 años, Hilbert demostró que, dada una forma algebraica, existe un número finito de invariantes que generan a todos los demás. (Una especie de base). Con este resultado y con su trabajo posterior, Hilbert prácticamente resolvió todos los problemas interesantes que había sobre invariantes.
Habiendo agotado ese tema, se dedico a la Teoría de Números. Rápidamente descubrió unas demostraciones de la trascendencia de ð y de e más simples y directas que las demostraciones originales. Su principal contribución fue una generalización de la Ley de Reciprocidad Cuadrática (publicada en 1898), que les permitió a él y a matemáticos posteriores extender la Teoría de Números a campos más abstractos y generales.

David Hilbert



Entonces, volvió a cambiar de tema. En 1899 publicó el libro “Fundamentos de la Geometría”. Una exposición axiomática de la Geometría (Euclidiana y No Euclidiana) que se sujeta a los requisitos más estrictos del rigor matemático que se estaban desarrollando en el momento y que son la norma hoy en día. A partir de entonces, Hilbert estuvo muy interesado en los Fundamentos de las Matemáticas. En particular, se preocupó por la existencia de una colección de axiomas que fuera consistente y completa.
Para la solución de ciertas ecuaciones que aparecen en la Física, un método muy común es encontrar una función que minimice cierta integral (El Principio de Dirichlet).
Como el problema proviene de una situación física, la gente simplemente asumía la existencia de dicha función minimizadora. Pero a mediados del siglo XIX, Weierstrass dio ejemplos donde no existía tal función. Sin embargo, el Principio de Dirichlet parece tan simple y natural que Hilbert decidió tratar de rescatarlo. Y en Septiembre de 1899 publicó un artículo donde demostró que, bajo ciertas condiciones, el Principio de Dirichlet es válido. Dichas condiciones son satisfechas por los problemas que aparecen más comúnmente en la Física, pero excluyen los ejemplos puramente matemáticos de Weierstrass.
Es claro que Hilbert estaba interesado en varias áreas de las Matemáticas. Su método de trabajo consistía en concentrarse en algún problema y tratar de simplificarlo, de hacerlo más claro. Para él, el rigor matemático era una herramienta en este proceso. A través del rigor, uno puede evitar las falsas suposiciones que pueden llevar al error y a la confusión.
Con su prestigio en aumento, Hilbert recibió una invitación para dar una conferencia plenaria en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas en 1900. Esta fue la conferencia “Problemas Matemáticos”. En ella habló de la importancia de un buen problema para el impulso de las Matemáticas y de su convicción filosófica de que dado cualquier problema matemático, tarde temprano se le encontrará una solución.
Fue así que propuso una lista de 23 problemas, no como un reto, sino como un incentivo para los matemáticos del nuevo siglo. Esta lista es conocida como “Los Problemas de Hilbert” y consta de problemas importantes en Teoría de Números, Álgebra, Geometría, Análisis, Teoría de Conjuntos
y Fundamentos Axiomáticos.
La lista incluye problemas tan famosos como la Hipótesis del Continuo. Al intentar la solución de los problemas, el objetivo de Hilbert de estimular el crecimiento de las Matemáticas se ha cumplido con creces. Aún hoy, el sueño de muchos matemáticos es contribuir a la solución de alguno de ellos e ingresar así a la elite que se conoce no oficialmente como “The Honors Class”.

En este momento, de los 23 problemas, 16 se consideran básicamente resueltos, 4 son más programas de trabajo que problemas concretos, y 3 permanecen sin resolver (a esta categoría pertenece el problema #8; La Hipótesis de Riemann).

LOS 23 PROBLEMAS DE HILBERT

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia m ás corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia m ás corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.
8. El problema de la distribución de los números primos.
9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de s ólo dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.
21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.








Referencias
http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert
http://www.simonsingh.net/Andrew_Wiles.html
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/Gaceta/historia92.pdf