Números naturales y recursividad
Rafael F. Isaacs G.
Números naturales
Cual es el primer conjunto de números que estudiamos desde la escuela primaria?
Se sabe que los números naturales constituyen la estructura básica de la Matemática; así el camino usual que se recorre es, partiendo de los naturales (N) pasar a los enteros (Z), de estos a los racionales (Q), luego a los reales (R) y finalmente a los complejos (C); el paso de un conjunto numérico a otro se da por la necesidad de ampliar cada conjunto a otro (que lo contenga) y en el cual se puedan resolver ciertos problemas que no tienen solución en el conjunto dado.
Una definición muy “popular” pero nada formal de los números naturales dice que “son los números que nos sirven para contar” (1,2,3,4,...). Sin embargo en Matemáticas se debe dar una definición formal y una manera (muy usual) de hacerlo es axiomáticamente, es decir estableciendo una lista de “reglas” que se aceptan sin demostración y que definen el concepto.
Así, para el caso de los números naturales, el conjunto de los axiomas, universalmente aceptado es el conjunto de axiomas propuesto por el matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932), que usan solo tres términos técnicos:
“Numero natural”
“Primer numero natural”
La función “el siguiente de”.
En los axiomas de Peano se establece la “esencia” de los números naturales que corresponde a la idea intuitiva que tenemos de ellos: “empiezan en algún momento” (existe el primero) y “van en fila” (uno enseguida de otro).
Los axiomas son 5:
N1. El 1 es un numero natural (Aquí puede ser 1 o 0, o cualquier otro “símbolo”, en realidad lo que importa es que existe al menos un natural).
N2. El siguiente de todo numero natural es también un numero natural.
N3. Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números son iguales.
N4. No existe un numero natural cuyo siguiente es 1 (aquí nuevamente puede ser 1 o 0, o cualquier otro “símbolo” lo que importa es que existe un “primer elemento”).
N5. Si S es una colección de números naturales que cumple:
(i) 0 Î S
(ii) Cada vez que un natural esta en S, también el siguiente de el esta en S.
Entonces S es el conjunto de todos los naturales.
Definiciones Recursivas
Otra aplicación importante del principio de inducción matemática la encontramos en las definiciones recursivas. Un concepto se dice definido recursivamente, si se define explícitamente para el caso n = 1 (o n = 0, o en general para un “primer caso”) y se da una regla (o lista de reglas) que lo definen para el caso n-esimo, en términos del caso anterior. Por ejemplo el concepto de “potenciación” se puede definir recursivamente así: “Para a 2 R definimos:
a1 =: a y an =: an−1a, para todo n > 2”; de esta manera tendríamos por ejemplo que a2 = a2−1a = a1a = aa, a3 = a3−1a = a2a = aaa y así sucesivamente.
Muchas sucesiones de números se pueden definir recursivamente: Sea por ejemplo (Sn) nÎN la sucesión definida por: S1 =: 1 y Sn+1 = 2Sn + 1 entonces los 4 primeros términos de esta sucesión serán: 1, 3, 7, 15
En realidad, podemos afirmar que toda definición recursiva al fin y al cabo lo que siempre define es una sucesión en un determinado conjunto X, es decir una función f del dominio N y codominio X; así por ejemplo las potencias de una base fija a se pueden obtener con la función f: N −> R definida por f (1) =: a y f(n) =: f(n − 1) a para n > 2.
Rafael F. Isaacs G.
Números naturales
Cual es el primer conjunto de números que estudiamos desde la escuela primaria?
Se sabe que los números naturales constituyen la estructura básica de la Matemática; así el camino usual que se recorre es, partiendo de los naturales (N) pasar a los enteros (Z), de estos a los racionales (Q), luego a los reales (R) y finalmente a los complejos (C); el paso de un conjunto numérico a otro se da por la necesidad de ampliar cada conjunto a otro (que lo contenga) y en el cual se puedan resolver ciertos problemas que no tienen solución en el conjunto dado.
Una definición muy “popular” pero nada formal de los números naturales dice que “son los números que nos sirven para contar” (1,2,3,4,...). Sin embargo en Matemáticas se debe dar una definición formal y una manera (muy usual) de hacerlo es axiomáticamente, es decir estableciendo una lista de “reglas” que se aceptan sin demostración y que definen el concepto.
Así, para el caso de los números naturales, el conjunto de los axiomas, universalmente aceptado es el conjunto de axiomas propuesto por el matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932), que usan solo tres términos técnicos:
“Numero natural”
“Primer numero natural”
La función “el siguiente de”.
En los axiomas de Peano se establece la “esencia” de los números naturales que corresponde a la idea intuitiva que tenemos de ellos: “empiezan en algún momento” (existe el primero) y “van en fila” (uno enseguida de otro).
Los axiomas son 5:
N1. El 1 es un numero natural (Aquí puede ser 1 o 0, o cualquier otro “símbolo”, en realidad lo que importa es que existe al menos un natural).
N2. El siguiente de todo numero natural es también un numero natural.
N3. Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números son iguales.
N4. No existe un numero natural cuyo siguiente es 1 (aquí nuevamente puede ser 1 o 0, o cualquier otro “símbolo” lo que importa es que existe un “primer elemento”).
N5. Si S es una colección de números naturales que cumple:
(i) 0 Î S
(ii) Cada vez que un natural esta en S, también el siguiente de el esta en S.
Entonces S es el conjunto de todos los naturales.
Definiciones Recursivas
Otra aplicación importante del principio de inducción matemática la encontramos en las definiciones recursivas. Un concepto se dice definido recursivamente, si se define explícitamente para el caso n = 1 (o n = 0, o en general para un “primer caso”) y se da una regla (o lista de reglas) que lo definen para el caso n-esimo, en términos del caso anterior. Por ejemplo el concepto de “potenciación” se puede definir recursivamente así: “Para a 2 R definimos:
a1 =: a y an =: an−1a, para todo n > 2”; de esta manera tendríamos por ejemplo que a2 = a2−1a = a1a = aa, a3 = a3−1a = a2a = aaa y así sucesivamente.
Muchas sucesiones de números se pueden definir recursivamente: Sea por ejemplo (Sn) nÎN la sucesión definida por: S1 =: 1 y Sn+1 = 2Sn + 1 entonces los 4 primeros términos de esta sucesión serán: 1, 3, 7, 15
En realidad, podemos afirmar que toda definición recursiva al fin y al cabo lo que siempre define es una sucesión en un determinado conjunto X, es decir una función f del dominio N y codominio X; así por ejemplo las potencias de una base fija a se pueden obtener con la función f: N −> R definida por f (1) =: a y f(n) =: f(n − 1) a para n > 2.
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