MATEMÁTICAS

"LA REINA DE LAS CIENCIAS"

Los desafíos que enfrentan hoy la ciencia y la ingeniería son tan complejos que sólo pueden resolverse con la relación interdisciplinaria y en la cual la matemática juega un papel muy destacado. La matemática, la ciencia y la ingeniería tienen una larga y estrecha relación que es crucial y de creciente importancia para ellas. Disciplinas como la física y la ingeniería eléctrica que han sido siempre muy matemáticas lo son aún cada día mas. Ciencias como la biología, la fisiología y la medicina en las cuales la matemática no tenía una presencia relevante, están demandando nuevas herramientas matemáticas para poder analizar y explicar muchos problemas sobre los cuales tienen cada vez mas información experimental. También la matemática es requerida hoy de manera muy significativa por la tecnología de las comunicaciones, las finanzas, la elaboración de manufacturas y los negocios. El progreso científico, en todas sus ramas, requiere una estrecha y fuerte interacción con la matemática.


Complejidad y dimensión: como la realidad casi nunca es simple requiere modelos complejos. Sin embargo modelos mas complejos conducen eventualmente a problemas fundamentalmente diferentes, no sólo mas grandes y mas complicados. Es imposible caracterizar sistemas desordenados con las mismas herramientas que son adecuadas para los sistemas de buen comportamiento.

Incertidumbre: aunque la incertidumbre es inevitable, ignorarla puede justificarse cuando se estudian procesos físicos aislados, de pequeña escala y bien entendidos. Esto no es así para sistemas de gran escala con muchas componentes, como la atmósfera y los océanos, procesos químicos donde no hay forma de determinar exactamente la secuencia de reacciones y por supuesto en las aplicaciones biológicas y médicas, o en sistemas que dependen de la participación humana.

Múltiples escalas: la necesidad de modelar o calcular en multiples escalas surge cuando escalas muy dispares (de espacio, de tiempo o ambos) contribuyen simultáneamente a un resultado observable. Por ejemplo en una combustión turbulenta, la forma de la cámara es tan importante como lo son las pequeñas fluctuaciones de la temperatura que controlan las reacciones químicas.

Computación: a los dos elementos clásicos del método científico, el experimento y la teoría, se les ha unido la computación como una tercera componente crucial. Cómputos que eran intratables hace pocos años atrás son realizados hoy de manera rutinaria, y muchas personas esperan poder dominar el tamaño y la complejidad de los problemas con el advenimiento de computadoras mas grandes y mas rápidas. Ésta es una vana esperanza si se carece de la matemática adecuada. Por mas de cuarenta años, el incremento de la potencia en la resolución de problemas gracias a mejores algoritmos matemáticos ha sido comparable con el crecimiento de la velocidad de las computadoras. En muchas situaciones, especialmente en problemas con múltiples escalas o caóticos, máquinas mas veloces no serán suficientes.

Probabilidades y Estadística

Entre los posibles campos de aplicación se encuentran:
§ Métodos estadísticos en genética: análisis de datos en “microarrays” (tratamiento de la expresión de numerosos genes en paralelo, de gran importancia en la investigación farmacéutica).
§ “Linkage analysis”: métodos estadísticos destinados a la detección de secuencias de genes asociados a características hereditarias, en particular enfermedades. Análisis de supervivencia: técnicas estadísticas para la predicción de sobre vida en pacientes a partir de la medición de variables clínicas y/o tratamientos utilizados.
§ Análisis de la varianza: técnica estadística para medir la importancia de distintas fuentes de variabilidad. Se aplica, por ejemplo, a los items anteriores.
§ Series de tiempo: modelos utilizados en Economía y Finanzas para predecir volatilidades.
§ Estadística Espacial: se aplica a la prospección de materiales e hidrocarburos, a silvicultura y al análisis de experimentos agrícolas.
§ Procesamiento estadístico de imágenes: es un tema con vastas aplicaciones en Meteorología, Agricultura y Ecología.
§ Procesos estocásticos: entre las aplicaciones de esta área de la Teoría de Probabilidades se pueden mencionar las siguientes:
* Ecuaciones diferenciales estocásticas: se aplican en Física (por ej. En Mecánica
* Estadística) y son de suma importancia en Finanzas.
* Campos Markovianos: se utilizan en el procesamiento de imágenes.
* Análisis de traza sísmica: se aplica en la prospección de yacimientos de petroleo.
* Diseño y control de redes de tránsito.




Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico

Las ecuaciones diferenciales juegan un papel esencial en el modelado de procesos físicos, químicos, biológicos, económicos, atmosféricos, oceanográficos, etc.
También son utilizadas en la industria para el control de procesos de producción, para la simulación por computadora de procesos, etc.
Además, son parte fundamental de modelos ecológicos y de propagación de infecciones.


Análisis Armónico, Funcional y Teoría de Aproximación

Importantes desarrollos en Análisis Armónico, Funcional y Teoría de Aproximación, tales como Descomposición Atómica de Espacios de Señales, Teoría de Wavelets, Teoría de Marcos, Análisis de Transformadas, Acotación de Operadores, Teoría de Muestreo, Caracterización de Espacios de Funciones como Modelos en Ingeniería, Espacios de Aproximación y Multiresolución, Análisis Tiempo Frecuencia, constituyen el marco teórico adecuado para el tratamiento, entre otras, de las siguientes aplicaciones tecnológicas:
§ Procesamiento de Imágenes - Imágenes Biomédicas - Mamografía digital
§ Radiografía Digital - Resonancia Magnética y Tomografía
§ Proceso de la Voz - Eliminación de Ruido - Teoría de Antenas
§ Telefonía celular y satelital - Telecomunicaciones
§ Transmisión de Datos – Transmisión de Imágenes por Internet
§ Tecnologías militares para la defensa

Geometría Algebraica y Teoría de Números

Tanto en la Teoría de Códigos como en la Criptografía se aplican, de manera esencial, sofisticados conceptos y técnicas de la Teoría Algebraica de Números (congruencias, sumas exponenciales, ecuaciones de cuerpos finitos) y de la Geometría Algebraica (curvas elípticas).

Geometría Diferencial, Física-Matemática y Teoría de Control

Entre las aplicaciones y las actividades interdisciplinarias relacionadas con esta área pueden ser mencionadas las siguientes:
* Teoría de Bifurcación y Robótica: estudia los saltos cualitativos que aparecen en el comportamiento de sistemas mecánicos, eléctricos o electrónicos y su posible estabilidad. Esto es de crucial importancia en el diseño de grúas robóticas, piernas y brazos de robots, vehículos autónomos como los utilizados en la explotación minera y en rodamientos sobre aire.

* Sistemas Dinámicos Lagrangianos y Hamiltonianos: en los sistemas mencionados en el párrafo anterior se utilizan, cada vez con mayor eficacia, métodos de la mecánica geométrica Lagrangiana y Hamiltoniana. A esto hay que agregar aplicaciones a la Física de plasmas y al diseño de cristales líquidos y materiales de todo tipo así como al control de su comportamiento (caso de pantallas de cristales líquidos, por ejemplo). Por otra parte, el diseño de órbitas y el control de naves espaciales se basa en técnicas de la Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana.

En todos los casos el o los grupos que aspiren al financiamiento deberán demostrar claramente el carácter interdisciplinario del proyecto tanto en sus objetivos como en la integración del grupo humano que lo desarrollará. En otras palabras, el problema a resolver debe ser extraído de una disciplina diferente de la matemática y los integrantes del grupo de investigación tienen que pertenecer a dos o más disciplinas siendo la matemática sólo una de ellas. Sobre estas bases se definen las siguientes posibles líneas de acción:

Matemática y Biología: A medida que la biología se convierta en una de las ciencias dominantes, se requerirán nuevos métodos para estudiarla. Muchos de esos métodos provendrán de la computación, la química, la física y la matemática.



Matemática e informática y comunicaciones: Este amplio campo podría ocasionar tantos cambios en la sociedad como la revolución industrial. Quienes entren temprano tendrán una ventaja competitiva de largo plazo. Los que tarden mucho en incorporase encontrarán dificultades para ponerse al día.

Matemática e Ingeniería: En la modelización de procesos mediante representaciones matemáticas la resolución numérica juega un papel esencial en razón de que la complejidad de los fenómenos habitualmente no permite soluciones analíticas. La matemática juega un papel crucial no sólo en la formulación de los modelos sino también en el desarrollo de las necesarias herramientas para resolverlos.