Historia atreves de algunos de sus representantes más importantes

David Hilbert

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental – 14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.


Algunos historiadores siempre han creído que David Hilbert descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein. Sin embargo esto nunca ha sido probado.

Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Znamensk, cerca de Kaliningrado, Rusia). Se graduó en el liceo de su ciudad natal y se matriculó en la Universidad de Königsberg. Obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften Specieller Binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen ("Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares"). Hermann Minkowski coincidió con Hilbert en la misma universidad y momento como doctorando, y llegaron a ser amigos íntimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recíproca en varios momentos de sus carreras científicas.
Hilbert permaneció como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de Göttingen, que en aquél momento era el mejor centro de investigación matemática en el mundo, donde permanecería el resto de su vida.

Los 23 problemas
Artículo principal: Problemas de Hilbert

Hilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Se reconoce de forma general que ésta es la recopilación de problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida nunca por un único matemático.

Tras reescribir los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podía haberlo extrapolado al resto de las matemáticas. Este enfoque difiere, sin embargo, de los posteriores 'fundacionalista' Russel-Whitehead o el 'enciclopedista' Nicolas Bourbaki, y de su contemporáneo Giuseppe Peano. La comunidad matemática al completo podría embarcarse en problemas que él identificó como aspectos cruciales en las áreas de la matemática que él considero como claves.
Lanzó el conjunto de problemas en la conferencia "Los problemas de la matemática" presentada durante el curso del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Ésta es la introducción a la conferencia de Hilbert:

¿Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cuál será el objetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?

Presentó menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas. Extendió el panorama en una publicación posterior, y con ella llegó la formulación canónica actual de los 23 Problemas de Hilbert. El texto al completo es importante, dado que la exégesis de las cuestiones puede seguir siendo materia de debate inevitable, cada vez que se preguntan cuántas han sido resueltas.

Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo XX, y actualmente se ha llegado a la conclusión de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continúan siendo actualmente un reto para los matemáticos.

Más acerca del tema

Texto histórico: Los Problemas Futuros de la Matemática [en línea] http://personales.ya.com/casanchi/ref/pfuturos01.htm
Hilbert’s Problems [en línea]
http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/hilbert_prob/

Teoría de números

Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente, "informe sobre números"). Abatió el problema de Waring en el sentido amplio. Desde entonces tuvo poco más que decir sobre el tema; pero la emergencia de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante implica que su nombre está más unido a un área importante.

Propuso una serie de conjeturas sobre la teoría de cuerpos de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribución queda patente en los nombres del cuerpo de clase de Hilbert y el símbolo de Hilbert de la teoría local de cuerpos de clases. Los resultados sobre estas conjeturas quedaron probados en su mayoría sobre 1930, tras el importante trabajo de Teiji Takagi que lo estableció como el primer matemático japonés de nivel internacional.
Hilbert no trabajó en las áreas principales de la teoría analítica de números, pero su nombre quedó unido a la conjetura de Hilbert-Pólya.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 - Castres, Francia, 12 de enero de 1665), fue un jurista y destacado matemático. Fue abogado en el Parlamento de Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno. También hizo notables contribuciones a la geometría analítica
Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.
Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias.
Fermat era un matemático que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto con el resto de la comunidad matemática fue gracias a Marin Mersenne. Cabe destacar también un breve intercambio de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueros conocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución.

Matemáticas de Fermat
Número primo de Fermat

Un número primo de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, es un número primo de la forma:

donde n es un número natural. Sólo se conocen cinco primos de Fermat, que son 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4).

Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma:

con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que siendo número de Fermat, no es primo.
Con ello, todos los números que tienen la forma de los primos de Fermat, aunque no sean primos, reciben el nombre de números de Fermat. Son números de Fermat todos los de la forma 22n+1, con n natural.

Existen dos problemas abiertos sobre estos números:
¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
¿Existen infinitos primos de Fermat?
Principio de Fermat

El Principio de Fermat en óptica establece:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.
El principio fue enunciado de esta forma en el siglo XVII por el matemático francés Pierre de Fermat. Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.
Esto quiere decir que, si se expresa el tiempo t en función de un parámetro s (el espacio recorrido), el trayecto recorrido por la luz será aquel en que dt/ds= 0, es decir, t será un mínimo, un máximo o un punto de inflexión de la curva que representa t en función de s. La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales (esto es forzosamente cierto si t(s) es una función continua y dt/ds= 0).
En esta forma, el principio de Fermat recuerda al Principio de Hamilton o a las Ecuaciones de Euler-Lagrange.

Último teorema de Fermat

El Último Teorema de Fermat (algunas veces conocido como Teorema Fermat-Wiles) es uno de los teoremas más importantes en la historia de la matemática.

Si n es un número entero mayor que 2 (o sea, n > 2), entonces no existen números enteros a, b y c (excepto las soluciones triviales, como a = 0 ó b = 0 ó c = 0) tales que cumplan la igualdad:
c n= an + bn
Pierre de Fermat escribió en el margen de su copia del libro Aritmética de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, en el problema que trata sobre la división de un cuadrado como suma de dos cuadrados (c2 = a2 + b2):
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos,et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdemnominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.Hanc marginis exigitas non caperet.
(Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados,o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.)
El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue Leonhard Euler que demostró el caso n = 3.
En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics (1995), demostró el Teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, que engarza las ecuaciones modulares y las elípticas. De este trabajo, se desprende la demostración del Último Teorema de Fermat. (Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551). Aunque el artículo original de Wiles contenía un error, pudo ser corregido en colaboración con el matemático Richard Taylor y la demostración fue posteriormente aceptada.