Ocurre a veces que la importancia de un acontecimiento histórico se mide no tanto por la difusión de que este gozo, como por las consecuencias que trajo consigo. Así, hoy sabemos que la guerra entre Francia y Alemania a finales del siglo XIX fue deliberadamente provocada por el canciller prusiano Bismarck: falsifico intencionadamente el despacho del embajador Ems, dándole un carácter ofensivo, agresivo, hacia la opinión publica francesa para provocar una reacción de furor en esta a la vez que la guerra. Tenemos, pues, un acontecimiento relativamente insignificante (manipulación de un informe) que desemboca en una guerra, que a su vez da como resultado la unificación de Alemania.
El ejemplo de Bismark resulta especialmente interesante porque raramente encontramos en la historia de la lógica algo que pueda compararse; es decir, raramente un logro en lógica tiene un impacto de magnitud similar a la que tuvo en la historia contemporánea “El surgimiento del Alemán” a mi entender el algebra de Boole.
Fundamentemos un poco este razonamiento. De lo dicho arriba se desprende que cualquier hallazgo en lógica es insignificante. Que nadie se alborote: con ello quiere decirse que tales hallazgos pasan tan inadvertidos para la gran mayoría como la falsificación del despacho de Ems por parte de Bismarck. La falta de atención a los logros en lógica ocurre incluso en los círculos mas cercanos a ella: buena parte de los filósofos de la ciencia del siglo XX han elaborado sus epistemologías respectivas tomando como referente principal a la fisica.
Para completar el paralelismo Bismark-Boole queda solamente mostrar la huella que ha dejado la huella del último. Esto es no es muy complicado: basta que observemos el mecanismo que rige a un semáforo o el funcionamiento de un sistema informático para darnos cuenta que el algebra de Boole juega un papel nada despreciable no ya en el ámbito especifico de la lógica sino en la civilización tal y como la conocemos.
Hemos visto que las aportaciones de Boole jugaron un papel primordial para alcanzar la unificación del CP y la TC. A continuación presentamos el cuerpo del algebra de Boole tal y como el lo concibió.
A) OPERACIONES BINARIAS
Una operación binaria (°) en un conjunto A es una operación tal que si a,b son elementos del conjunto A también lo es a°b.
Por ejemplo, en aritmética, ¿es la división una operación binaria? Puede o no serlo, depende del conjunto que consideremos si el conjunto considerado es J+ , entonces la división es una operación binaria. Si por el contrario, el conjunto a considerar es Z, entonces la división no resulta ser una operación binaria.
B) OPERACIONES UNITARIAS
Una operación unitaria (~) sobre un conjunto A es una operación tal que si a es un elemento de A, también lo es ~a.
Volvamos a la aritmetica para elaborar un ejemplo. ¿es la operación “tomar el valor negativo de” (denotado por “–“)una operación unitaria? Si consideramos tal operación sobre el conjunto Z+ entonces “-” no es un operación unitaria; si por el contrario, la consideramos sobre todos los numeros enteros, Z- si cumple con el requisito para ser operacion unitaria.
POSTULADOS DEL ALGEBRA DE BOOLE
Aunque el sistema de boole permite su fácil manipulación, hay que admitir que contiene defectos no solo desde el punto de vista de la elegancia, sino así mismo de rigor. A lo largo de medio siglo tras la publicación de las Laws of Thought, todas estas deficiencias serian subsanadas por los seguidores de Boole. Jevons inicio las reformas en 1864 con su Pure Logia. Sin embargo, el paso mas importante en esta dirección consiste en la presentación del calculo en forma estrictamente axiomática. Mientras que Boole se había contentado con caracterizar su sistema mediante un único principio que parecía diferenciarlo del algebra numérica ordinaria, sus sucesores intentaron explicar todos sus presupuestos. Donde mejor cabe estudiar los resultados de esta empresa es en los trabajos de Huntington.
Los teoremas del algebra de Boole son demostrables, a diferencia del algebra convencional, por el método de inducción completa. La inducción completa solo puede darse si se comprueba que la relación entre los elementos que el teorema define se cumplen todos los casos. Para esto se usan las tablas de verdad.
Los postulados de Huntington no han sido los únicos intentos de mejorar el algebra de Boole. Otros intentos conocidos en el ámbito de las matemáticas son los de Birkhoff y MacLane.
DE BOOLE A LA ELECTRONICA DIGITAL
Puerta OR-exclusiva (XOR)
La puerta lógica O-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A'B+AB'. Su símbolo es el más (+) inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en Electrónica
Su Tabla de verdad es la siguiente:
PUERTA LOGICA
Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico que es la expresión física de un operador booleano en la lógica de conmutación. Cada puerta lógica consiste en una red de dispositivos interruptores que cumple las condiciones booleanas para el operador particular. Son esencialmente circuitos de conmutación integrados en un chip.
Claude Elwood Shannon experimentaba con relés o interruptores electromagnéticos para conseguir las condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana Y (AND) colocaba interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de éstos que tuviera la condición «abierto», la salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que para la implementación de una compuerta O (OR), la conexión de los interruptores tiene una configuración en circuito paralelo.
La tecnología microelectrónica actual permite la elevada integración de transistores actuando como conmutadores en redes lógicas dentro de un pequeño circuito integrado. El chip de la CPU es una de las máximas expresiones de este avance tecnológico.
En nanotecnología se está desarrollando el uso de una compuerta lógica molecular, que haga posible la miniaturización de circuitos.
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