MATEMÁTICAS

"LA REINA DE LAS CIENCIAS"

Los desafíos que enfrentan hoy la ciencia y la ingeniería son tan complejos que sólo pueden resolverse con la relación interdisciplinaria y en la cual la matemática juega un papel muy destacado. La matemática, la ciencia y la ingeniería tienen una larga y estrecha relación que es crucial y de creciente importancia para ellas. Disciplinas como la física y la ingeniería eléctrica que han sido siempre muy matemáticas lo son aún cada día mas. Ciencias como la biología, la fisiología y la medicina en las cuales la matemática no tenía una presencia relevante, están demandando nuevas herramientas matemáticas para poder analizar y explicar muchos problemas sobre los cuales tienen cada vez mas información experimental. También la matemática es requerida hoy de manera muy significativa por la tecnología de las comunicaciones, las finanzas, la elaboración de manufacturas y los negocios. El progreso científico, en todas sus ramas, requiere una estrecha y fuerte interacción con la matemática.


Complejidad y dimensión: como la realidad casi nunca es simple requiere modelos complejos. Sin embargo modelos mas complejos conducen eventualmente a problemas fundamentalmente diferentes, no sólo mas grandes y mas complicados. Es imposible caracterizar sistemas desordenados con las mismas herramientas que son adecuadas para los sistemas de buen comportamiento.

Incertidumbre: aunque la incertidumbre es inevitable, ignorarla puede justificarse cuando se estudian procesos físicos aislados, de pequeña escala y bien entendidos. Esto no es así para sistemas de gran escala con muchas componentes, como la atmósfera y los océanos, procesos químicos donde no hay forma de determinar exactamente la secuencia de reacciones y por supuesto en las aplicaciones biológicas y médicas, o en sistemas que dependen de la participación humana.

Múltiples escalas: la necesidad de modelar o calcular en multiples escalas surge cuando escalas muy dispares (de espacio, de tiempo o ambos) contribuyen simultáneamente a un resultado observable. Por ejemplo en una combustión turbulenta, la forma de la cámara es tan importante como lo son las pequeñas fluctuaciones de la temperatura que controlan las reacciones químicas.

Computación: a los dos elementos clásicos del método científico, el experimento y la teoría, se les ha unido la computación como una tercera componente crucial. Cómputos que eran intratables hace pocos años atrás son realizados hoy de manera rutinaria, y muchas personas esperan poder dominar el tamaño y la complejidad de los problemas con el advenimiento de computadoras mas grandes y mas rápidas. Ésta es una vana esperanza si se carece de la matemática adecuada. Por mas de cuarenta años, el incremento de la potencia en la resolución de problemas gracias a mejores algoritmos matemáticos ha sido comparable con el crecimiento de la velocidad de las computadoras. En muchas situaciones, especialmente en problemas con múltiples escalas o caóticos, máquinas mas veloces no serán suficientes.

Probabilidades y Estadística

Entre los posibles campos de aplicación se encuentran:
§ Métodos estadísticos en genética: análisis de datos en “microarrays” (tratamiento de la expresión de numerosos genes en paralelo, de gran importancia en la investigación farmacéutica).
§ “Linkage analysis”: métodos estadísticos destinados a la detección de secuencias de genes asociados a características hereditarias, en particular enfermedades. Análisis de supervivencia: técnicas estadísticas para la predicción de sobre vida en pacientes a partir de la medición de variables clínicas y/o tratamientos utilizados.
§ Análisis de la varianza: técnica estadística para medir la importancia de distintas fuentes de variabilidad. Se aplica, por ejemplo, a los items anteriores.
§ Series de tiempo: modelos utilizados en Economía y Finanzas para predecir volatilidades.
§ Estadística Espacial: se aplica a la prospección de materiales e hidrocarburos, a silvicultura y al análisis de experimentos agrícolas.
§ Procesamiento estadístico de imágenes: es un tema con vastas aplicaciones en Meteorología, Agricultura y Ecología.
§ Procesos estocásticos: entre las aplicaciones de esta área de la Teoría de Probabilidades se pueden mencionar las siguientes:
* Ecuaciones diferenciales estocásticas: se aplican en Física (por ej. En Mecánica
* Estadística) y son de suma importancia en Finanzas.
* Campos Markovianos: se utilizan en el procesamiento de imágenes.
* Análisis de traza sísmica: se aplica en la prospección de yacimientos de petroleo.
* Diseño y control de redes de tránsito.




Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico

Las ecuaciones diferenciales juegan un papel esencial en el modelado de procesos físicos, químicos, biológicos, económicos, atmosféricos, oceanográficos, etc.
También son utilizadas en la industria para el control de procesos de producción, para la simulación por computadora de procesos, etc.
Además, son parte fundamental de modelos ecológicos y de propagación de infecciones.


Análisis Armónico, Funcional y Teoría de Aproximación

Importantes desarrollos en Análisis Armónico, Funcional y Teoría de Aproximación, tales como Descomposición Atómica de Espacios de Señales, Teoría de Wavelets, Teoría de Marcos, Análisis de Transformadas, Acotación de Operadores, Teoría de Muestreo, Caracterización de Espacios de Funciones como Modelos en Ingeniería, Espacios de Aproximación y Multiresolución, Análisis Tiempo Frecuencia, constituyen el marco teórico adecuado para el tratamiento, entre otras, de las siguientes aplicaciones tecnológicas:
§ Procesamiento de Imágenes - Imágenes Biomédicas - Mamografía digital
§ Radiografía Digital - Resonancia Magnética y Tomografía
§ Proceso de la Voz - Eliminación de Ruido - Teoría de Antenas
§ Telefonía celular y satelital - Telecomunicaciones
§ Transmisión de Datos – Transmisión de Imágenes por Internet
§ Tecnologías militares para la defensa

Geometría Algebraica y Teoría de Números

Tanto en la Teoría de Códigos como en la Criptografía se aplican, de manera esencial, sofisticados conceptos y técnicas de la Teoría Algebraica de Números (congruencias, sumas exponenciales, ecuaciones de cuerpos finitos) y de la Geometría Algebraica (curvas elípticas).

Geometría Diferencial, Física-Matemática y Teoría de Control

Entre las aplicaciones y las actividades interdisciplinarias relacionadas con esta área pueden ser mencionadas las siguientes:
* Teoría de Bifurcación y Robótica: estudia los saltos cualitativos que aparecen en el comportamiento de sistemas mecánicos, eléctricos o electrónicos y su posible estabilidad. Esto es de crucial importancia en el diseño de grúas robóticas, piernas y brazos de robots, vehículos autónomos como los utilizados en la explotación minera y en rodamientos sobre aire.

* Sistemas Dinámicos Lagrangianos y Hamiltonianos: en los sistemas mencionados en el párrafo anterior se utilizan, cada vez con mayor eficacia, métodos de la mecánica geométrica Lagrangiana y Hamiltoniana. A esto hay que agregar aplicaciones a la Física de plasmas y al diseño de cristales líquidos y materiales de todo tipo así como al control de su comportamiento (caso de pantallas de cristales líquidos, por ejemplo). Por otra parte, el diseño de órbitas y el control de naves espaciales se basa en técnicas de la Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana.

En todos los casos el o los grupos que aspiren al financiamiento deberán demostrar claramente el carácter interdisciplinario del proyecto tanto en sus objetivos como en la integración del grupo humano que lo desarrollará. En otras palabras, el problema a resolver debe ser extraído de una disciplina diferente de la matemática y los integrantes del grupo de investigación tienen que pertenecer a dos o más disciplinas siendo la matemática sólo una de ellas. Sobre estas bases se definen las siguientes posibles líneas de acción:

Matemática y Biología: A medida que la biología se convierta en una de las ciencias dominantes, se requerirán nuevos métodos para estudiarla. Muchos de esos métodos provendrán de la computación, la química, la física y la matemática.



Matemática e informática y comunicaciones: Este amplio campo podría ocasionar tantos cambios en la sociedad como la revolución industrial. Quienes entren temprano tendrán una ventaja competitiva de largo plazo. Los que tarden mucho en incorporase encontrarán dificultades para ponerse al día.

Matemática e Ingeniería: En la modelización de procesos mediante representaciones matemáticas la resolución numérica juega un papel esencial en razón de que la complejidad de los fenómenos habitualmente no permite soluciones analíticas. La matemática juega un papel crucial no sólo en la formulación de los modelos sino también en el desarrollo de las necesarias herramientas para resolverlos.

Números naturales y recursividad
Rafael F. Isaacs G.

Números naturales

Cual es el primer conjunto de números que estudiamos desde la escuela primaria?
Se sabe que los números naturales constituyen la estructura básica de la Matemática; así el camino usual que se recorre es, partiendo de los naturales (N) pasar a los enteros (Z), de estos a los racionales (Q), luego a los reales (R) y finalmente a los complejos (C); el paso de un conjunto numérico a otro se da por la necesidad de ampliar cada conjunto a otro (que lo contenga) y en el cual se puedan resolver ciertos problemas que no tienen solución en el conjunto dado.

Una definición muy “popular” pero nada formal de los números naturales dice que “son los números que nos sirven para contar” (1,2,3,4,...). Sin embargo en Matemáticas se debe dar una definición formal y una manera (muy usual) de hacerlo es axiomáticamente, es decir estableciendo una lista de “reglas” que se aceptan sin demostración y que definen el concepto.
Así, para el caso de los números naturales, el conjunto de los axiomas, universalmente aceptado es el conjunto de axiomas propuesto por el matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932), que usan solo tres términos técnicos:
“Numero natural”
“Primer numero natural”
La función “el siguiente de”.

En los axiomas de Peano se establece la “esencia” de los números naturales que corresponde a la idea intuitiva que tenemos de ellos: “empiezan en algún momento” (existe el primero) y “van en fila” (uno enseguida de otro).
Los axiomas son 5:

N1. El 1 es un numero natural (Aquí puede ser 1 o 0, o cualquier otro “símbolo”, en realidad lo que importa es que existe al menos un natural).
N2. El siguiente de todo numero natural es también un numero natural.
N3. Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números son iguales.
N4. No existe un numero natural cuyo siguiente es 1 (aquí nuevamente puede ser 1 o 0, o cualquier otro “símbolo” lo que importa es que existe un “primer elemento”).
N5. Si S es una colección de números naturales que cumple:
(i) 0 Î S
(ii) Cada vez que un natural esta en S, también el siguiente de el esta en S.
Entonces S es el conjunto de todos los naturales.

Definiciones Recursivas

Otra aplicación importante del principio de inducción matemática la encontramos en las definiciones recursivas. Un concepto se dice definido recursivamente, si se define explícitamente para el caso n = 1 (o n = 0, o en general para un “primer caso”) y se da una regla (o lista de reglas) que lo definen para el caso n-esimo, en términos del caso anterior. Por ejemplo el concepto de “potenciación” se puede definir recursivamente así: “Para a 2 R definimos:
a1 =: a y an =: an−1a, para todo n > 2”; de esta manera tendríamos por ejemplo que a2 = a2−1a = a1a = aa, a3 = a3−1a = a2a = aaa y así sucesivamente.
Muchas sucesiones de números se pueden definir recursivamente: Sea por ejemplo (Sn) nÎN la sucesión definida por: S1 =: 1 y Sn+1 = 2Sn + 1 entonces los 4 primeros términos de esta sucesión serán: 1, 3, 7, 15
En realidad, podemos afirmar que toda definición recursiva al fin y al cabo lo que siempre define es una sucesión en un determinado conjunto X, es decir una función f del dominio N y codominio X; así por ejemplo las potencias de una base fija a se pueden obtener con la función f: N −> R definida por f (1) =: a y f(n) =: f(n − 1) a para n > 2.

RESEÑA HISTÓRICA DE ALGUNOS PROBLEMAS EN TEORÍA DE NÚMEROS



El propósito de este trabajo, es describir, en forma sucinta, la historia de algunos problemas centrales de la Teoría de Números. Muchos de ellos han ocupado la atención de matemáticos, y aficionados a las matemáticas por varias generaciones, y en determinados casos hasta por siglos. Entre estos problemas se destacan: la Conjetura de Golbach, el Último Teorema de Fermat, el Teorema de los Números Primos, el Problema de Catalán y el Décimo Problema de Hilbert.

Gauss consideraba a las matemáticas como la reina de las ciencias y a la teoría de números como la reina de las matemáticas. Este calificativo dado por Gauss a la teoría de números, tiene plena justificación, si se tiene en cuenta que, la historia de las matemáticas la tiene como su columna vertebral y porque grandes matemáticos, desde la antigüedad hasta nuestros días, la han cultivado y mantenido como una de las áreas más fecundas del terreno matemático. Los problemas de la teoría de números tienen diferente grado de dificultad. Algunos son fáciles de plantear y fáciles también de resolver, como es el caso de establecer la infinidad de los números primos. Fue Euclides, quien, en forma por demás elegante, mostró que el conjunto de números primos es infinito.

Los números enteros, materia prima de la teoría de números, tienen en conjunto, propiedades sumamente interesantes como veremos en el transcurso de la presente exposición. Empecemos por decir que cada entero en sí es interesante, pues si hubiese un conjunto de enteros positivos no interesantes, el menor de ellos ya sería de interés, contradiciendo su propia definición.

Godfrey Harold Hardy (1877-1947), el famoso matemático inglés, cuenta que en cierta ocasión comentó a Ramanujan, haber viajado en el taxi No. 1729, número éste, que en su opinión no tenía nada de interesante. El genio hindú le respondió: “Al contrario, 1729 es un numero muy especial, ya que es el primer entero positivo que puede expresarse como la suma de dos cubos, exactamente en dos formas diferentes”. En efecto, 1729 = 103+93 = 123+13. El número 123 = 1728, estudiado por Ramanujan, desempeña un papel importante en la teoría de formas modulares elípticas, área en la cual contribuyó profusamente.

S. Ramanujan (1887-1920) y G. H. Hardy (1877-1947)

Los enteros positivos tuvieron singular importancia en la filosofía de la escuela pitagórica (siglos VI-III A.C.). Para Pitágoras todo era números y el número era la única vía de llegar a la esencia de las cosas. Los enteros positivos fueron clasificados como femeninos (pares) y masculinos (impares). A los primeros números se les asociaron atributos humanos. Por ejemplo, el 2 significaba opinión, el 4 justicia (por ser el primer cuadrado perfecto), el 5 matrimonio (suma de par e impar). El uno no era considerado estrictamente como un número, si no como el “divino generador de todos los números”. De otra parte, para los pitagóricos, el uno era el punto, la recta el dos, una superficie el número tres y el cuatro estaba ligado a los sólidos. De la suma de estos, aparecía el número diez, el tetractys, considerado por ellos como potencia sagrada y omnipotente. El diez estaba clasificado entre los números triangulares.

LAS TRIPLAS PITAGÓRICAS Y EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT.

Hay suficiente evidencia como para creer que los babilonios del II milenio antes de Cristo, conocían un procedimiento para obtener soluciones enteras de la ecuación :

x^2 +y^2 =z^2 (*)


En efecto, en los años 40, fueron interpretadas por O. Neugebauer y A. J. Sachs, varias tablillas babilónicas de contenido matemático entre ellas, la Nº 322 de la colección Plimpton, en la cual aparecen muchas triplas pitagóricas (a, b, c) que satisfacen (*). La tripla (3, 4, 5) es una de ellas. Esta tripla pudo haberse encontrado por ensayo y error, pero no podría decirse lo mismo de la tripla,

(4961, 6480, 8161)

Que también aparece en la tablilla 322. Esto muestra que la cultura babilónica poseía probablemente la fórmula parra encontrar valores que satisficieran la ecuación diofantina. En el libro XII de los “Elementos” de Euclides se describe el método para hallar todas las triplas pitagóricas primitivas que resuelven la ecuación mencionada. En notación moderna la solución puede expresarse así:

(**) x = 2uv, y =u^2-v^2, z = u^2+v^2

Donde u y v son enteros positivos de diferente paridad (uno par, el otro impar), u > v y u, v primos entre sí. Que (x, y, z), dados en (**) satisfacen (*), se obtiene directamente de la identidad algebraica:

(u^2 + v^2) = (u^2- v )^2 + (2uv) , donde x = (2uv)^2, y = (u^2- v )^2, z ^2= (u^2 + v^2 ) 2.

La proposición más nombrada y quizás con el mayor número de demostraciones erróneas en la historia de las matemáticas, es el llamado Último Teorema de Fermat. PIERRE DE FERMAT (1601-1665), aunque jurista, logró su fama como matemático de gran creatividad. Al margen de su copia del libro “Aritmética”, escrito por Diofanto y editado por Bachet en 1650 (véase facsímil de la portada al comienzo del artículo), Fermat escribió:

“Descomponer un cubo en dos cubos, una cuarta potencia o en general una potencia en dos potencias de la misma denominación, por encima de dos, es imposible. Yo he encontrado una maravillosa prueba de este hecho, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla”.

Gauss y el Teorema de los Números Primos

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, descubrió en 1792 que los números primos no están caprichosamente distribuidos en el conjunto de los números enteros, sino que al contrario, siguen invariablemente una ley en cuanto a su densidad. Esta ley se conoce como el Teorema de los Números Primos.

Teorema de los Números Primos. Si π (x) representa el número de primos en el intervalo [1, x], entonces π (x) es asintóticamente igual a x/logx. (logx significa aquí, logaritmo natural de x). Más exactamente

Gauss llegó a esta conclusión al comparar la integral,



Con el número de primos que puede haber en el intervalo [a, b]. El observó por ejemplo, que el número de primos en el intervalo entre 2600000 y 2700000 es de 6762, número éste, muy próximo a la integral de arriba; cuyo valor para a=2600000 y b=2700000 es de 6761.332. Hay sobrada razón entonces, para asignarle a Gauss la prioridad del descubrimiento de este teorema. No obstante, debe reconocerse que, quien primero enunció la conjetura que condujo al teorema, fue Adrien Marie Legendre (1752-1833), en la forma:


Donde A y B son constantes.

Gauss fue un perfeccionista en todo; solamente cuando obtenía un resultado muy pulido, permitía su publicación. Su dogma siempre fue: “PAUCA SED MATURA” (poco, pero maduro). Esto explica, por qué muchos resultados atribuidos a él, no fueron publicados en vida del autor. Algunos de éstos se encontraron en su diario, otros más, se obtuvieron de la correspondencia que mantuvo con científicos contemporáneos.

El Problema de Catalan y la Conjetura de Goldbach

El problema de Catalan es otro ejemplo de un problema de fácil formulación pe­ro de muy difícil prueba. Este tiene que ver con potencias de en­teros, digamos, los cuadrados: 1, 4, 9,…, cubos: 1, 8, 27,… cuartas potencias: 1, 16, 81…, etc. Hace más de cien años, el matemático belga Eugène Catalan (1814-1894), conjeturó que las únicas dos potencias de enteros, que difieren en 1, son 23 y 32, esto es 8 y 9. El problema se puede expresar en términos de ecuaciones diofantinas en los siguientes términos. No existe soluciones enteras, diferentes de x =3, y =2, u =2, y v =3 para la ecuación diofantina:

, con x > 0; y>0; u>1; v>1.

Solamente hasta hace muy poco el matemático inglés Alan Baker (Medalla Fields 1970), lo­gró probar la conjetura, salvo para un número finito de casos. Sin embargo el número de casos excepcionales, aunque finito es demasiado grande para verificarlo con ayuda del computador. Recientemente el matemático suizo Preda Mihailescu[1] logró resolver en forma a­firmativa este centenario y difícil problema.

John E. Littlewood (1885-1977)

En 1742, Christian Golbach (1690-1764), en carta dirigida a Euler, propuso el siguiente problema:


Conjetura de Golbach: Todo número par mayor o igual que 4 se puede expresar como la suma de dos primos y todo número impar mayor que 8 es representable co­mo la suma de a lo más tres primos impares.
Todos los esfuerzos por demostrar la conjetura, resultaron fallidos hasta 1937, cuando el matemático soviético I. M. Vinogradov, demostró que todo impar mayor que cierta constante No (Constante de Vinogradov) se puede expresar como suma de a lo más tres números primos y consecuentemente todo par debe poderse expresar como suma de a lo más 4 primos. Una cota superior encontrada para No, es 10350000. Este número aunque grande, es comparativamente pequeño en rela­ción con otro número que aparece en conexión con π(x) y conocido como número de Skewes y corresponde a:


Este número según Hardy era el mayor número natural conocido, usado con un propósito especial. El número de Skewes representa una cota superior debajo de la cual existe al menos un natural, tal que Se había conjeturado que el número de primos en el intervalo [1 , x] siempre era menor o igual que Li(x). La conjetura tenía por soporte el hecho de que todos los valores calculados satisfacían la desigualdad. Sin embargo a comienzos del siglo, J. E. Littlewood (l855-1977), probó que hay infinitos naturales que violan la conjetura. Curiosamente, Littlewood no logró mostrar ninguno en particular. En la década de 1930 su discípulo S. Skewes encontró que existe al menos un número natural, menor que la cota anotada arriba para el cual la conjetura no se cumple. Esta cota se ha ido bajando, hasta obtenerse en 1.65 x 101165, debajo de la cual existe un natural tal que

π(x) >Li (x).

UN PROBLEMA DE HILBERT Y LA INFINITUD DE LOS PRIMOS GEMELOS.

David Hilbert (1862-1943) propuso en el Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París en 1900, 23 problemas, el décimo de los cuales pregunta por la existencia de un algoritmo para determinar si una ecuación diofantina tiene o no solución. El problema sólo vino a resolverse en 1970 con el trabajo brillante del matemático soviético Yuri Matyasevich, quien probó la no existencia de tal algoritmo. Un algoritmo es un proceso que en un número finito de pasos conduce a un resultado determinado. El trabajo de Matyasevich fue la culminación de todo un cuerpo de ideas desarrollado por Julia Robinson, Hilary Putnam y Martin Davis en relación con funciones recursivas y computabilidad. Los números de Fibonacci dieron la clave en el trabajo de Matyasevich para la solución del décimo problema de Hilbert.

Historia atreves de algunos de sus representantes más importantes (parte II)

Johann Carl Friedrich Gauss


(30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855, s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Gauss fue un niño prodigio de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones

Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes.


Es célebre la siguiente anécdota: con tan sólo 3 años corrigió en su cabeza un error de su padre, mientras éste realizaba un conteo de pago de sus empleados, haciendo ver su precoz habilidad para los números. Tenía Gauss diez años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, y así sucesivamente, era constante:

1, 2, 3, 4, ..., 97, 98, 99, 100
1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 =... = 101

Con los 100 números se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto

101· 50 = 5050

Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término:

dónde a1 es el primer término, aun el último, y n es el número de términos de la progresión.

Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra (disertación para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente.
En 1801 publicó el libro Disquisitiones Aritmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada. En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita del asteroide Ceres aproximando parámetros por mínimos cuadrados.


En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Göttingen. En este mismo año publicó Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundizó sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas.
Quizás Gauss haya sido la primera persona en intuir la independencia del postulado de las paralelas de Euclides y de esta manera anticipar una geometría no euclidiana. Pero esto sólo se afirma, sacando conclusiones de cartas enviadas a sus amigos, Farkas Bolyai y a János Bolyai a quien Gauss calificó como un genio de primer orden.

En 1823 publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, dedicado a la estadística, concretamente a la distribución normal cuya curva característica, denominada como Campana de Gauss, es muy usada en disciplinas no matemáticas donde los datos son susceptibles de estar afectados por errores sistemáticos y casuales como por ejemplo la psicología diferencial.
Hay que aclarar que Gauss no fue el primero en hacer referencia a la distribución normal.
Mostró un gran interés en geometría diferencial y su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curva publicado en 1828 fue el más reconocido en este campo. En dicha obra expone el famoso Teorema Egregium. De esta obra se deriva el término Curvatura Gaussiana.

En 1831 se asocia al físico Wilhelm Weber durante seis fructíferos años en los que realizan investigaciones sobre las Leyes de Kirchhoff, publicaciones sobre magnetismo y construyen un telégrafo eléctrico primitivo.
Aunque a Gauss le desagradaba dar clases, algunos de sus alumnos resultaron destacados matemáticos como Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Otros matemáticos contemporáneos fueron Carl Gustav Jakob Jacobi, Dirichlet y Sophie Germain.
Gauss murió en Göttingen el 23 de febrero de 1855.

Historia atreves de algunos de sus representantes más importantes

David Hilbert

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental – 14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.


Algunos historiadores siempre han creído que David Hilbert descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein. Sin embargo esto nunca ha sido probado.

Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Znamensk, cerca de Kaliningrado, Rusia). Se graduó en el liceo de su ciudad natal y se matriculó en la Universidad de Königsberg. Obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften Specieller Binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen ("Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares"). Hermann Minkowski coincidió con Hilbert en la misma universidad y momento como doctorando, y llegaron a ser amigos íntimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recíproca en varios momentos de sus carreras científicas.
Hilbert permaneció como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de Göttingen, que en aquél momento era el mejor centro de investigación matemática en el mundo, donde permanecería el resto de su vida.

Los 23 problemas
Artículo principal: Problemas de Hilbert

Hilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Se reconoce de forma general que ésta es la recopilación de problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida nunca por un único matemático.

Tras reescribir los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podía haberlo extrapolado al resto de las matemáticas. Este enfoque difiere, sin embargo, de los posteriores 'fundacionalista' Russel-Whitehead o el 'enciclopedista' Nicolas Bourbaki, y de su contemporáneo Giuseppe Peano. La comunidad matemática al completo podría embarcarse en problemas que él identificó como aspectos cruciales en las áreas de la matemática que él considero como claves.
Lanzó el conjunto de problemas en la conferencia "Los problemas de la matemática" presentada durante el curso del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Ésta es la introducción a la conferencia de Hilbert:

¿Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cuál será el objetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?

Presentó menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas. Extendió el panorama en una publicación posterior, y con ella llegó la formulación canónica actual de los 23 Problemas de Hilbert. El texto al completo es importante, dado que la exégesis de las cuestiones puede seguir siendo materia de debate inevitable, cada vez que se preguntan cuántas han sido resueltas.

Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo XX, y actualmente se ha llegado a la conclusión de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continúan siendo actualmente un reto para los matemáticos.

Más acerca del tema

Texto histórico: Los Problemas Futuros de la Matemática [en línea] http://personales.ya.com/casanchi/ref/pfuturos01.htm
Hilbert’s Problems [en línea]
http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/hilbert_prob/

Teoría de números

Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente, "informe sobre números"). Abatió el problema de Waring en el sentido amplio. Desde entonces tuvo poco más que decir sobre el tema; pero la emergencia de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante implica que su nombre está más unido a un área importante.

Propuso una serie de conjeturas sobre la teoría de cuerpos de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribución queda patente en los nombres del cuerpo de clase de Hilbert y el símbolo de Hilbert de la teoría local de cuerpos de clases. Los resultados sobre estas conjeturas quedaron probados en su mayoría sobre 1930, tras el importante trabajo de Teiji Takagi que lo estableció como el primer matemático japonés de nivel internacional.
Hilbert no trabajó en las áreas principales de la teoría analítica de números, pero su nombre quedó unido a la conjetura de Hilbert-Pólya.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 - Castres, Francia, 12 de enero de 1665), fue un jurista y destacado matemático. Fue abogado en el Parlamento de Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno. También hizo notables contribuciones a la geometría analítica
Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.
Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias.
Fermat era un matemático que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto con el resto de la comunidad matemática fue gracias a Marin Mersenne. Cabe destacar también un breve intercambio de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueros conocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución.

Matemáticas de Fermat
Número primo de Fermat

Un número primo de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, es un número primo de la forma:

donde n es un número natural. Sólo se conocen cinco primos de Fermat, que son 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4).

Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma:

con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que siendo número de Fermat, no es primo.
Con ello, todos los números que tienen la forma de los primos de Fermat, aunque no sean primos, reciben el nombre de números de Fermat. Son números de Fermat todos los de la forma 22n+1, con n natural.

Existen dos problemas abiertos sobre estos números:
¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
¿Existen infinitos primos de Fermat?
Principio de Fermat

El Principio de Fermat en óptica establece:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.
El principio fue enunciado de esta forma en el siglo XVII por el matemático francés Pierre de Fermat. Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.
Esto quiere decir que, si se expresa el tiempo t en función de un parámetro s (el espacio recorrido), el trayecto recorrido por la luz será aquel en que dt/ds= 0, es decir, t será un mínimo, un máximo o un punto de inflexión de la curva que representa t en función de s. La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales (esto es forzosamente cierto si t(s) es una función continua y dt/ds= 0).
En esta forma, el principio de Fermat recuerda al Principio de Hamilton o a las Ecuaciones de Euler-Lagrange.

Último teorema de Fermat

El Último Teorema de Fermat (algunas veces conocido como Teorema Fermat-Wiles) es uno de los teoremas más importantes en la historia de la matemática.

Si n es un número entero mayor que 2 (o sea, n > 2), entonces no existen números enteros a, b y c (excepto las soluciones triviales, como a = 0 ó b = 0 ó c = 0) tales que cumplan la igualdad:
c n= an + bn
Pierre de Fermat escribió en el margen de su copia del libro Aritmética de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, en el problema que trata sobre la división de un cuadrado como suma de dos cuadrados (c2 = a2 + b2):
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos,et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdemnominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.Hanc marginis exigitas non caperet.
(Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados,o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.)
El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue Leonhard Euler que demostró el caso n = 3.
En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics (1995), demostró el Teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, que engarza las ecuaciones modulares y las elípticas. De este trabajo, se desprende la demostración del Último Teorema de Fermat. (Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551). Aunque el artículo original de Wiles contenía un error, pudo ser corregido en colaboración con el matemático Richard Taylor y la demostración fue posteriormente aceptada.

Los Números Primos y el Internet

Al oír la palabra números lo que primero nos viene a la cabeza es la lista 1, 2, 3, 4, 5,...,etc.
Éstos son los que se conocen como números naturales. El estudio de los números naturales conforma lo que se llama Teoría de Números, una de las ramas más interesantes y complejas de las Matemáticas. Carl Fiedrich Gauss, considerado por muchos el matemático más importante de la historia, se refería a ella como la Reina de las Matemáticas.

Entre los números naturales hay algunos que se pueden escribir como el producto de dos números más pequeños. Por ejemplo, el número 10 se puede escribir como el producto de 2 y de 5. Éstos son los números compuestos. Aquellos números que no son compuestos se denominan números primos. Es decir, los números primos son los números naturales formados por una sola pieza. Por ejemplo, el número 7 es primo ya que no podemos encontrar dos números naturales más pequeños que él de modo que multiplicándolos se obtenga 7. A esto hay que añadir una excepción, la del número 1. Al ser el primer número natural no hay ninguno más pequeño que él y por consiguiente no es compuesto. Considerando lo dicho anteriormente, deberíamos decir que el número 1 es primo. Sin embargo, el número 1 presenta un comportamiento muy diferente al resto de los números primos debido a su condición de elemento neutro de la multiplicación (multiplicar por 1 es como no hacer nada). Esto hace que no consideremos el número 1 ni como primo ni como compuesto.
La lista de los números primos empieza por tanto así: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, etc. Y aunque es posible escribir números primos muy grandes, la lista completa de todos los primos es aún un misterio.

Teorema Fundamental de la Aritmética

La propiedad más importante de los números primos es que constituyen las piezas básicas en las que se descompone cualquier número natural. Más exactamente, el Teorema Fundamental de la Aritmética dice que todo número natural mayor o igual que 2 puede ser expresado, de manera única, como producto de números primos.
Por ejemplo, el número 90 podemos escribirlo como 2 × 3 × 3 × 5. Es importante recalcar que el teorema no sólo nos dice que podemos escribir 90 como producto de números primos, sino que además nos dice que hay una única manera de hacerlo. Por supuesto, se consideran iguales todas las maneras que se obtienen cambiando el orden de los números primos; en el caso de 90, consideramos como iguales los productos 2 × 3 × 3 × 5 y 3 × 2 × 3 × 5. Obsérvese que si considerásemos el número 1 como número primo, la descomposición de un número natural como producto de números primos no sería única, ya que podríamos escribir, por ejemplo, 6 = 2 × 3, 6 = 2 × 3 × 1, 6 = 2 × 3 × 1 × 1, etc.
El Teorema Fundamental de la Aritmética aparece en el libro IX de Los Elementos de Euclides, texto del siglo IV antes de nuestra era considerado por muchos como el primer libro de Matemáticas modernas de la historia. Resulta interesante observar el lenguaje que usa Euclides en este contexto. En vez de decir que un número divide a otro, Euclides usa la expresión mide a, considerando conceptos geométricos: 3 mide a 15 porque podemos dividir un segmento de longitud 15 en 5 segmentos de longitud 3. Esta percepción geométrica es coherente con la mentalidad de la época que consideraba la palabra Matemáticas como un sinónimo de Geometría.
Con el Teorema Fundamental de la Aritmética en mente podemos pensar en los números primos como un análogo numérico de los átomos en Química, que son irreducibles y además generan, mediante distintas combinaciones, todas las moléculas. Esto hace que los números primos tengan estrechas relaciones con aspectos de las Matemáticas que aparentemente no están directamente relacionados con ellos.

Irracionalidad de √2

Consideramos ahora todos los números reales, es decir, los números con decimales. Si pensamos en los primos como números formados por una sola pieza, podríamos decir que lo más alejado de esta idea es la de número irracional. Veremos que, a pesar de las diferencias conceptuales iniciales, estas dos ideas están muy relacionadas. Pero antes, vamos a explicar con algo más de detalle qué entendemos por número irracional. Decimos que un número real positivo es racional si se puede escribir como la división de dos números naturales (racional viene del latín ratio, proporción). Por ejemplo, el número 3,75 es racional porque es igual a 15/4, y el número 0,1353535353535…(repitiéndose 35 indefinidamente) también es racional porque es igual a 134/990.

Los números que no se pueden escribir como un cociente de este tipo se llaman irracionales. La diferencia se encuentra en las cifras decimales: un número real es racional si tiene una cantidad finita de decimales o si, como en el ejemplo anterior, tiene una cantidad infinita de cifras decimales pero de manera que a partir de un punto la lista de decimales repite indefinidamente las mismas cifras. Los números irracionales, por el contrario, son aquellos con una lista de cifras decimales infinita de verdad, es decir, que no se estabiliza con la repetición de algunas cifras. Esto hace que la escritura normal (con las cifras del 0 al 9) de los números irracionales sea imposible. Esta es la razón por la que a veces usamos símbolos especiales para referirnos a algunos números. Esto pasa, por ejemplo, con π, el más famoso de todos los números irracionales. Otros símbolos usados para escribir indirectamente algunos
números son las raíces. Estamos acostumbrados a tratar con el número √2, y nos olvidamos de que no estamos escribiendo el número en sí, sino un símbolo que significa el número positivo cuyo cuadrado es 2.

Números primos y criptografía

El Teorema Fundamental de la Aritmética es un resultado de existencia. Nos dice que para cada número existe una manera de escribirlo como producto de números primos pero no nos dice cómo hacerlo. Si consideramos un número natural “pequeño”, digamos 3780, podemos descomponerlo fácilmente en producto de primos haciendo divisiones sencillas:
3780 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7.
Uno pensaría que esta operación, ejercicio habitual en la escuela primaria, se puede hacer con cualquier número. Esto no es así ni mucho menos. En general, encontrar los números primos que dividen a un número dado es un problema muy difícil, y no sólo desde un punto de vista teórico, sino también computacional. Es decir, que ni el ordenador más potente puede encontrar, en un tiempo razonable, los divisores primos de un número un poco “grande”. Tanto es así que muchos métodos de codificación de información usan este hecho.
Los primeros sistemas de transmisión de mensajes secretos se basaban en el intercambio de una clave entre el emisor y el receptor con un contacto directo previo. Esto, en comunicaciones a grandes distancias no era muy práctico ya que hacía necesario que emisor y receptor se juntasen cada vez que motivos de seguridad obligaban a cambiar la clave. En 1977, Rivest, Shamir y Adleman, científicos del MIT (Masachussests Institute of Technology) en EEUU, idearon un esquema de cifrado de clave publica. Según este método, llamado RSA por las iniciales de los apellidos de sus creadores, el receptor hace público un número natural “grande”, del cual conoce su descomposición en factores primos. Este número es usado por el emisor para cifrar sus mensajes. La idea es que aunque todo el mundo tiene acceso a la clave pública y al mensaje cifrado, éste sólo pueden ser descifrado si se conocen los números primos que dividen al número clave. Para que nos hagamos una idea de qué significa “grande”, actualmente se considera segura una clave pública dada por un número natural de más de 300 cifras. Por supuesto, a medida que evolucionan las capacidades de los ordenadores, la idea de lo que es un número “grande” va cambiando. Por ejemplo, los creadores del esquema RSA predijeron que un mensaje encriptado por ellos usando un número de 129 cifras como clave, tardaría en descifrarse 40 trillones de años. Sin embargo, a principios de los años noventa, mediante la colaboración de 1.600 ordenadores durante 8 meses, se consiguió descifrar. Esto, a pesar del error en las predicciones de sus creadores, más que restar validez al método RSA, muestra su fortaleza e ilustra la dificultad de un problema tan aparentemente sencillo como es la descomposición de un número como producto de primos.
Estas aplicaciones de los números primos en el campo de la criptografía muestran cómo las Matemáticas más abstractas pueden tener relación directa con actividades tan mundanas como el uso de un cajero automático.

GIMPS

En la última década del siglo de la ciencia un avance tecnológico revoluciona el mundo de las telecomunicaciones: Internet. Nacida a partir de una idea del ejército americano apenas 20 años antes, la red de redes pasa rápidamente al ámbito universitario y el fenómeno es entonces imparable. Pronto las instituciones de todo el mundo están conectadas y el número de hogares con acceso a Internet crece de manera exponencial. Con millones de ordenadores conectados entre sí, el siguiente paso natural en la búsqueda de primos-récords es la colaboración en Internet. George Woltman, programador y entusiasta de la teoría de números, empieza a finales de 1995 a recopilar toda la información existente relativa a los primos-récords. También crea un programa optimizado para la búsqueda de primos de Mersenne y lo cuelga en la red. Así empieza el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). La idea es que colaboradores de todo el mundo operen sobre una base de datos central. La automatización final del proceso de participación es realizada a finales de 1997 por Scott Kurowski. Desde entonces, basta con un ordenador personal y un modem para participar en la histórica búsqueda de los números primos. No hay más que conectar con la página WEB de GIMPS
(www.mersenne.org) y descargar el software necesario. Automáticamente, la base de datos central te asigna una serie de cálculos. Esta tarea la realiza el ordenador con los recursos que no están siendo utilizados en cada momento, no interfiriendo así en su actividad normal. Una vez obtenidos los resultados, el mismo ordenador contacta automáticamente con la base de datos central, actualizándola. Si el ordenador no está conectado continuamente a Internet, espera a estar conectado para hacer la trasferencia de datos. Esto hace posible el uso de los nuevos resultados por otros colaboradores. Así, desde 1996, los cinco números que han ostentado el récord del número primo más grande conocido han sido primos de Mersenne obtenidos por GIMPS.
Estos fueron descubiertos por voluntarios en Francia en 1996, Inglaterra en 1997, Estados Unidos en 1998 y 1999 y Canadá en 2001.
El primo-récord actual es el 213.466.917-1. Tiene 4.053.946 cifras y es el primo de Mersenne número 39 que se conoce. En total, todos los cálculos realizados para su detección equivalen al trabajo de un sólo ordenador personal durante más de 13.000 años. Para que nos hagamos una idea de su tamaño, si escribiésemos todas sus cifras decimales con un tamaño de fuente de 11 puntos, tendría una longitud de más de 14 kilómetros. A pesar de poner su nombre en la historia de los números primos, Michael Cameron no fue tan afortunado como Nayan Hajratwala, el descubridor en 1999 del primer primo-récord con más de un millón de cifras. Éste se llevó un premio de más de 44.000 euros dado por la Electronic Frontier Foundation. Esta misma institución ha ofrecido un premio de 90.000 euros para el descubridor del primer número primo con más de 10 millones de cifras.

Conjeturas famosas

La espectacularidad los datos anteriores contrasta con el desconocimiento de algunas cuestiones sobre los números primos aparentemente muy sencillas. Algunos resultados sobre los números primos se intuye que son verdad, pero por ahora son tan sólo conjeturas, enunciados plausibles sin demostración. Algunas de estas conjeturas llevan abiertas durante cientos de años.

Este es el caso de la Conjetura de Golbach. El 7 de Julio 1742, Christian Golbach, profesor de San Petesburgo que acabó en Moscú como tutor de la familia del zar Pedro II, escribe una carta a Euler donde le comenta que, a pesar de no haber encontrado una demostración, está seguro de que todo número natural mayor o igual que se puede escribir como suma de tres números primos. Euler le contesta que el resultado es equivalente a que todo número natural par mayor o igual que 3 es la suma de dos primos. Este último enunciado es el que pasa a la historia con el nombre de Conjetura de Golbach, uno de los problemas abiertos más famosos de las Matemáticas. No se duda de su veracidad, como además sugieren los cálculos hechos con algunos de los ordenadores más potentes, pero nadie ha sido capaz de dar una demostración general. El último avance en la comprobación directa del resultado mediante ordenador asegura que el resultado es cierto para todo número par hasta 400 billones.

Otra de las conjeturas más interesantes es la relativa a la cantidad de números primos gemelos. Dos números primos p y q se dice que son gemelos si p = q + 2. Como ningún número primo puede ser par, dos primos son gemelos si están todo lo cerca que dos primos pueden llegar a estar. Primos gemelos son, por ejemplo, las parejas (17, 19), (29, 31) y (1.000.000.000.061, 1.000.000.000.063). La Conjetura de los primos gemelos dice que hay infinitas parejas de primos gemelos aunque nadie ha sido capaz de determinar si es cierta o no. Esta conjetura puede sugerir que los primos se encuentran cerca unos de otros. Sin embargo, es fácil ver que hay listas de números naturales consecutivos no primos de cualquier longitud.


La historia de las Matemáticas está llena de resultados que en algún momento parecían retos inalcanzables. El enigma de la distribución de los números primos es posible que algún día se resuelva. Mientras tanto, seguirá despertando interés en matemáticos de todos los niveles, desde los investigadores en Teoría de Números en las universidades, hasta los niños que aprenden a dividir en las escuelas.

Flexágonos cuadrados

Los flexágonos cuadrados fueron la segunda variedad de flexágonos a ser descubiertos. Son menos entendidos que los hexaflexágonos particularmente porque su comportamiento dinámico es más complejo. En detalle se sabe relativamente poco sobre números de tipos distintos con un número dado de caras. En apariencia una posición principal de un flexágono cuadrado es plana y consiste de cuatro hojas, cada una con un vértice en el centro de modo que hay cuatro pats y dos sectores. El contorno es un cuadrado. Algunos flexágonos cuadrados son bandas torcidas y por lo tanto existe como pares enantiomórficos (imagen de espejo).
Los flexágonos cuadrados tienen 3 diferentes tipos de ciclos y 2 tipos de ligas entre los ciclos. Hay 3 diferentes tipos de flexágonos cuadrados de un sólo ciclo. Dos de éstos tienen 4 caras y recorre completamente un ciclo de 4. El tercero tiene 3 caras y es incompleto ya que solamente recorre un ciclo de 3.
La designación de las redes para especificar el tipo de flexágono cuadrado cuyo comportamiento dinámico se sabe es más difícil que para hexaflexágonos. Comenzando por un diseño conocido, los métodos prácticos basados en los modelos de papel permiten agregar o eliminar ciclos y caras, y por lo tanto diseñar los flexágonos cuadrados deseados con comportamiento dinámico.

Tipos de flexágonos

Tetraflexágonos
Los Tetraflexágonos son flexágonos de cuatro lados, con cuatro cuadrados, o rectángulos, en cada cara.
Existen dos tipos:
o Tritetraflexágono. Tres caras.
o Hexatetraflexágono. Seis caras.

Octaflexágonos

Los octaflexágonos son un tipo particular de tetraflexágonos. Cada uno de los cuatro cuadrados que forman cada cara está a su vez dividido en dos triángulos isósceles, por lo tanto, al haber ocho polígonos alrededor del centro de cada cara, se utiliza el prefijo octo-.
Existe un modelo:
Tetraoctaflexágono. Cuatro caras.





Hexaflexágonos

Los hexaflexágonos son flexágonos de seis lados. Es la familia de flexágonos con más tipos:

· Trihexaflexágono. Tres caras. Es un ejemplo de banda de Möbius.
· Tetrahexaflexágono. Cuatro caras.
· Pentahexaflexágono. Cinco caras.
· Hexahexaflexágono. Seis caras.
· Heptahexaflexágono. Siete caras. Existen cuatro modelos diferentes.
· Octahexaflexágono. Doce caras. Existen doce modelos diferentes.
· Eneahexaflexágono. Nueve caras. Existen 27 modelos diferentes.
· Decahexaflexágono. Diez caras. Existen 82 modelos diferentes.
· Dodecahexaflexágono. Doce caras. Es un tipo especial de hexahexaflexágono creado utilizando una cinta doble de papel. Siguiendo este método, Tuckerman llegó a hacer un modelo de 48 caras.




Dodecaflexágono

El dodecaflexágono, descrito por Ann Schwartz,[]es un tipo especial de hexaflexágono, ya que cada uno de los triángulos equiláteros que lo forman está subdividido a su vez en dos triángulos rectángulos, lo que produce caras en las que se combinan triángulos de varias caras distintas y además durante su manipulado se forman figuras no hexagonales.







Bibliografía

- Imágenes de flexágonos [en linea]
http://loki3.com/flex/triangle/tetra-silver3.png&imgrefurl%20
http://farm1.static.flickr.com/229/513940585_cd4647bb6f_b.jpg
[Consulta: 22de Mayo del 2008]
-Flexágonos cuadrados [en línea]

http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/summer2006/FlexCuadraPaty_html/version2.html
[Consulta: 22 de Mayo del 2008]